Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см , найдите расстояние между прямыми AB и B1D

Для нахождения расстояния между прямыми AB и B1D в данной задаче можно воспользоваться методом векторов.

Пусть векторы AB = a, AD = b, и AB1 = c. Тогда мы можем выразить вектор B1D через данные векторы:

B1D = BD + AB1 = AB + AD + AB1 = a + b + c

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и B1D, чтобы найти площадь параллелограмма, образованного этими векторами:

S = |AB x B1D| = |a x (a + b + c)| = |a x a + a x b + a x c| = |a x c|

Поскольку площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения данных векторов, то S равна площади параллелограмма, образованного векторами AB и B1D. Таким образом, S равна площади треугольника ABC1, который также равен половине площади грани куба.

Используя формулу для площади треугольника S = 0.5 a b * sin(α), где a и b - длины сторон треугольника, а α - угол между ними, мы можем выразить расстояние между прямыми AB и B1D:

|a x c| = 0.5 AB AC1 * sin(α)

Таким образом, расстояние между прямыми AB и B1D равно половине произведения длин ребра куба и диагонали грани куба, умноженной на синус угла между ними.

Расстояние между прямыми AB и B1D равно половине длины диагонали куба, то есть 2√2 см.

Чтобы найти расстояние между двумя прямыми в пространстве, необходимо определить, являются ли они параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. В данном случае прямые ( AB ) и ( B_1D ) — это скрещивающиеся прямые в кубе ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ).

1. Понимание расположения точек:

   • Вершины куба ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) расположены следующим образом (предположим, что ( A ) находится в начале координат):
     • ( A(0, 0, 0) )
     • ( B(2, 0, 0) )
     • ( C(2, 2, 0) )
     • ( D(0, 2, 0) )
     • ( A_1(0, 0, 2) )
     • ( B_1(2, 0, 2) )
     • ( C_1(2, 2, 2) )
     • ( D_1(0, 2, 2) )

2. Определение направляющих векторов:

   • Для прямой ( AB ) направляющий вектор ( \mathbf{v_1} = B - A = (2, 0, 0) ).
   • Для прямой ( B_1D ) направляющий вектор ( \mathbf{v_2} = D - B_1 = (0, 2, -2) ).

3. Проверка на параллельность:

   • Прямые ( AB ) и ( B_1D ) не параллельны, так как векторы ( \mathbf{v_1} ) и ( \mathbf{v_2} ) не коллинеарны.

4. Вычисление векторного произведения:

   • ( \mathbf{n} = \mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2} = (2, 0, 0) \times (0, 2, -2) = (0 \cdot (-2) - 0 \cdot 2, - (2 \cdot (-2) - 0 \cdot 0), 2 \cdot 2 - 0 \cdot 0) = (0, 4, 4) ).

5. Расчет расстояния между скрещивающимися прямыми:

   • Расстояние ( d ) между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле: [ d = \frac{|(\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}) \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} ] где ( \mathbf{r_1} ) и ( \mathbf{r_2} ) — радиус-векторы точек на каждой из прямых.
   • Выбираем ( \mathbf{r_1} = A = (0, 0, 0) ) и ( \mathbf{r_2} = B_1 = (2, 0, 2) ).
   • ( \mathbf{r_2} - \mathbf{r_1} = (2, 0, 2) - (0, 0, 0) = (2, 0, 2) ).
   • Скалярное произведение: ( (\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}) \cdot \mathbf{n} = (2, 0, 2) \cdot (0, 4, 4) = 0 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 2 \cdot 4 = 8 ).
   • Длина вектора ( \mathbf{n}: |\mathbf{n}| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} ).

6. Подстановка в формулу: [ d = \frac{|8|}{4\sqrt{2}} = \frac{8}{4\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} ]

Таким образом, расстояние между прямыми ( AB ) и ( B_1D ) равно ( \sqrt{2} ) см.