Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно а. Найдите скалярное произведение векторов: а) A1B и C1D б) BC1 и D1 в)...

а) A1B и C1D: a^2

б) BC1 и D1: -a^2

в) DB1 и DA: 0

Для нахождения скалярного произведения векторов необходимо умножить проекции данных векторов на ось и сложить полученные произведения.

а) Вектор A1B имеет координаты (0, а, 0), а вектор C1D имеет координаты (0, 0, а). Скалярное произведение равно произведению координат векторов по соответствующим осям, т.е. (0 0) + (а 0) + (0 * а) = 0.

б) Вектор BC1 имеет координаты (а, 0, а), а вектор D1 имеет координаты (0, а, а). Скалярное произведение равно произведению координат векторов по соответствующим осям, т.е. (а 0) + (0 а) + (а * а) = а^2.

в) Вектор DB1 имеет координаты (0, а, а), а вектор DA имеет координаты (0, а, 0). Скалярное произведение равно произведению координат векторов по соответствующим осям, т.е. (0 0) + (а а) + (а * 0) = а^2.

Давайте разберем каждый из вопросов по порядку.

Введение

Куб ( ABCDA1B1C1D1 ) - это геометрическая фигура, у которой все ребра равны и все углы прямые. В нашем случае, длина ребра куба равна ( a ).

Для удобства рассмотрим куб с вершинами в следующих координатах:

• ( A(0, 0, 0) )
• ( B(a, 0, 0) )
• ( C(a, a, 0) )
• ( D(0, a, 0) )
• ( A1(0, 0, a) )
• ( B1(a, 0, a) )
• ( C1(a, a, a) )
• ( D1(0, a, a) )

а) Скалярное произведение векторов ( \mathbf{A1B} ) и ( \mathbf{C1D} )

Для начала определим координаты этих векторов:

• Вектор ( \mathbf{A1B} ) начинается в точке ( A1 ) и заканчивается в точке ( B ). Его координаты: [ \mathbf{A1B} = B - A1 = (a, 0, 0) - (0, 0, a) = (a, 0, -a) ]
• Вектор ( \mathbf{C1D} ) начинается в точке ( C1 ) и заканчивается в точке ( D ). Его координаты: [ \mathbf{C1D} = D - C1 = (0, a, 0) - (a, a, a) = (-a, 0, -a) ]

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов: [ \mathbf{A1B} \cdot \mathbf{C1D} = (a, 0, -a) \cdot (-a, 0, -a) = a \cdot (-a) + 0 \cdot 0 + (-a) \cdot (-a) = -a^2 + 0 + a^2 = 0 ]

б) Скалярное произведение векторов ( \mathbf{BC1} ) и ( \mathbf{D1} )

Определим координаты этих векторов:

• Вектор ( \mathbf{BC1} ) начинается в точке ( B ) и заканчивается в точке ( C1 ). Его координаты: [ \mathbf{BC1} = C1 - B = (a, a, a) - (a, 0, 0) = (0, a, a) ]
• Вектор ( \mathbf{D1} ) начинается в начале координат и заканчивается в точке ( D1 ). Его координаты: [ \mathbf{D1} = D1 - A = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a) ]

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов: [ \mathbf{BC1} \cdot \mathbf{D1} = (0, a, a) \cdot (0, a, a) = 0 \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot a = 0 + a^2 + a^2 = 2a^2 ]

в) Скалярное произведение векторов ( \mathbf{DB1} ) и ( \mathbf{DA} )

Определим координаты этих векторов:

• Вектор ( \mathbf{DB1} ) начинается в точке ( D ) и заканчивается в точке ( B1 ). Его координаты: [ \mathbf{DB1} = B1 - D = (a, 0, a) - (0, a, 0) = (a, -a, a) ]
• Вектор ( \mathbf{DA} ) начинается в точке ( D ) и заканчивается в точке ( A ). Его координаты: [ \mathbf{DA} = A - D = (0, 0, 0) - (0, a, 0) = (0, -a, 0) ]

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов: [ \mathbf{DB1} \cdot \mathbf{DA} = (a, -a, a) \cdot (0, -a, 0) = a \cdot 0 + (-a) \cdot (-a) + a \cdot 0 = 0 + a^2 + 0 = a^2 ]

Заключение

Итак, результаты скалярных произведений векторов: а) ( \mathbf{A1B} \cdot \mathbf{C1D} = 0 )

б) ( \mathbf{BC1} \cdot \mathbf{D1} = 2a^2 )

в) ( \mathbf{DB1} \cdot \mathbf{DA} = a^2 )