Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно корень из 3. найдите расстояние от вершины С до плоскости ВДС1

Рассмотрим куб $АВСД{А}_1{В}_1{С}_1{Д}_1$, у которого ребро равно $\sqrt{3}$. Нам нужно найти расстояние от вершины $С$ до плоскости $ВД{С}_1$.

1. Координаты вершин куба:

   • Пусть вершина $А$ имеет координаты $(0,0,0$ ).
   • Тогда вершина $B$ будет $(\sqrt{3},0,0$ ).
   • Вершина $D$ будет $(0,\sqrt{3},0$ ).
   • Вершина $C$ будет $(\sqrt{3},\sqrt{3},0$ ).
   • Вершина $A_1$ будет $(0,0,\sqrt{3}$ ).
   • Вершина $B_1$ будет $(\sqrt{3},0,\sqrt{3}$ ).
   • Вершина $D_1$ будет $(0,\sqrt{3},\sqrt{3}$ ).
   • Вершина $C_1$ будет $(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}$ ).

2. Запишем координаты вершин $B,D$ и $S_1$:

   • $B$ имеет координаты $(\sqrt{3},0,0$ ).
   • $D$ имеет координаты $(0,\sqrt{3},0$ ).
   • $S_1$ имеет координаты $(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}$ ).

3. Найдем уравнение плоскости $BD{S}_1$:

   • Для этого будем использовать координаты точек $B,D$ и $S_1$.
   • Вектор $\overrightarrow{BD}=D-B=(0,\sqrt{3},0$ - $\sqrt{3},0,0$ = $-\sqrt{3},\sqrt{3},0$ ).
   • Вектор $\overrightarrow{B{S}_1}=S_1-B=(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}$ - $\sqrt{3},0,0$ = $0,\sqrt{3},\sqrt{3}$ ).

4. Найдем векторное произведение $\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{B{S}_1}$ чтобы найти нормаль плоскости: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{B{S}_1}=\left|\begin{array}{ccccccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}-\sqrt{3}& \sqrt{3}& 00& \sqrt{3}& \sqrt{3}\end{array}\right|$

   Вычислим определитель: $\overrightarrow{n}=\mathbf{i}(\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-0\cdot \sqrt{3})-\mathbf{j}(-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-0\cdot 0)+\mathbf{k}(-\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-0\cdot \sqrt{3})$ $\overrightarrow{n}=\mathbf{i}\cdot 3-\mathbf{j}\cdot (-3)+\mathbf{k}\cdot (-3)$ $\overrightarrow{n}=3\mathbf{i}+3\mathbf{j}-3\mathbf{k}$

   Следовательно, нормальный вектор $\overrightarrow{n}=(3,3,-3$ ).

5. Запишем уравнение плоскости $BD{S}_1$:

   • Уравнение плоскости в общем виде: $Ax+By+Cz+D=0$.
   • Подставим нормальный вектор $(3,3,-3$ ) и координаты точки $B(\sqrt{3},0,0$ ): $3(\sqrt{3})+3(0)-3(0)+D=0$ $3\sqrt{3}+D=0$ $D=-3\sqrt{3}$

   Уравнение плоскости будет: $3x+3y-3z-3\sqrt{3}=0$ Или, упростим: $x+y-z=\sqrt{3}$

6. Найдем расстояние от точки $C(\sqrt{3},\sqrt{3},0$ ) до плоскости $x+y-z=\sqrt{3}$:

   • Формула для расстояния от точки $(x_0,y_0,z_0$ ) до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$: $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

   Подставим значения: $d=\frac{|1\cdot \sqrt{3}+1\cdot \sqrt{3}-1\cdot 0-\sqrt{3}|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1{)}^2}}$ $d=\frac{|\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{1+1+1}}$ $d=\frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$ $d=1$

Таким образом, расстояние от вершины $C$ до плоскости $BD{S}_1$ равно 1.

Для нахождения расстояния от вершины С до плоскости ВДS1 можно воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости.

Плоскость ВДS1 проходит через точки В, Д и S1. Нормаль к этой плоскости можно найти как векторное произведение векторов ВD и DS1.

Найдем векторы ВD и DS1. Вектор ВD можно найти как разность координат точек В и D: ВD = $1-1,0-1,0-0$ = $0,-1,0$.

Аналогично, вектор DS1 можно найти как разность координат точек D и S1: DS1 = $1-0,1-0,1-1$ = $1,1,0$.

Теперь найдем нормаль к плоскости как векторное произведение ВD и DS1: n = ВD x DS1 = $0,-1,0$ x $1,1,0$ = $0,0,1$.

Таким образом, нормаль к плоскости равна $0,0,1$.

Теперь найдем уравнение плоскости ВДS1. Учитывая, что плоскость проходит через точку В$1,0,0$, мы можем записать уравнение плоскости в виде:

0x + 0y + 1*z - z = 0,

то есть z = 0.

Теперь найдем координаты точки C. Точка C расположена на ребре куба и имеет координаты $1,0,1$. Подставим координаты точки C в уравнение плоскости:

01 + 00 + 1*1 - 1 = 0,

то есть расстояние от вершины C до плоскости ВДS1 равно 1.

Таким образом, расстояние от вершины C до плоскости ВДS1 равно 1.