Ребро куба АВСДА1В1С1Д1 равно корень из 3. найдите расстояние от вершины С до плоскости ВДС1

Рассмотрим куб ( АВСДА_1В_1С_1Д_1 ), у которого ребро равно (\sqrt{3}). Нам нужно найти расстояние от вершины ( С ) до плоскости ( ВДС_1 ).

1. Координаты вершин куба:

   • Пусть вершина ( А ) имеет координаты ( (0, 0, 0) ).
   • Тогда вершина ( B ) будет ( (\sqrt{3}, 0, 0) ).
   • Вершина ( D ) будет ( (0, \sqrt{3}, 0) ).
   • Вершина ( C ) будет ( (\sqrt{3}, \sqrt{3}, 0) ).
   • Вершина ( A_1 ) будет ( (0, 0, \sqrt{3}) ).
   • Вершина ( B_1 ) будет ( (\sqrt{3}, 0, \sqrt{3}) ).
   • Вершина ( D_1 ) будет ( (0, \sqrt{3}, \sqrt{3}) ).
   • Вершина ( C_1 ) будет ( (\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{3}) ).

2. Запишем координаты вершин ( B, D ) и ( S_1 ):

   • ( B ) имеет координаты ( (\sqrt{3}, 0, 0) ).
   • ( D ) имеет координаты ( (0, \sqrt{3}, 0) ).
   • ( S_1 ) имеет координаты ( (\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{3}) ).

3. Найдем уравнение плоскости ( BDS_1 ):

   • Для этого будем использовать координаты точек ( B, D ) и ( S_1 ).
   • Вектор ( \overrightarrow{BD} = D - B = (0, \sqrt{3}, 0) - (\sqrt{3}, 0, 0) = (-\sqrt{3}, \sqrt{3}, 0) ).
   • Вектор ( \overrightarrow{BS_1} = S_1 - B = (\sqrt{3}, \sqrt{3}, \sqrt{3}) - (\sqrt{3}, 0, 0) = (0, \sqrt{3}, \sqrt{3}) ).

4. Найдем векторное произведение ( \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BS_1} ) чтобы найти нормаль плоскости: [ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BD} \times \overrightarrow{BS_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -\sqrt{3} & \sqrt{3} & 0 \ 0 & \sqrt{3} & \sqrt{3} \end{vmatrix} ]

   Вычислим определитель: [ \overrightarrow{n} = \mathbf{i} \left( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot \sqrt{3} \right) - \mathbf{j} \left( -\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot 0 \right) + \mathbf{k} \left( -\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 0 \cdot \sqrt{3} \right) ] [ \overrightarrow{n} = \mathbf{i} \cdot 3 - \mathbf{j} \cdot (-3) + \mathbf{k} \cdot (-3) ] [ \overrightarrow{n} = 3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 3\mathbf{k} ]

   Следовательно, нормальный вектор ( \overrightarrow{n} = (3, 3, -3) ).

5. Запишем уравнение плоскости ( BDS_1 ):

   • Уравнение плоскости в общем виде: ( Ax + By + Cz + D = 0 ).
   • Подставим нормальный вектор ( (3, 3, -3) ) и координаты точки ( B (\sqrt{3}, 0, 0) ): [ 3(\sqrt{3}) + 3(0) - 3(0) + D = 0 ] [ 3\sqrt{3} + D = 0 ] [ D = -3\sqrt{3} ]

   Уравнение плоскости будет: [ 3x + 3y - 3z - 3\sqrt{3} = 0 ] Или, упростим: [ x + y - z = \sqrt{3} ]

6. Найдем расстояние от точки ( C (\sqrt{3}, \sqrt{3}, 0) ) до плоскости ( x + y - z = \sqrt{3} ):

   • Формула для расстояния от точки ( (x_0, y_0, z_0) ) до плоскости ( Ax + By + Cz + D = 0 ): [ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} ]

   Подставим значения: [ d = \frac{|1 \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot \sqrt{3} - 1 \cdot 0 - \sqrt{3}|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} ] [ d = \frac{|\sqrt{3} + \sqrt{3} - \sqrt{3}|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} ] [ d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} ] [ d = 1 ]

Таким образом, расстояние от вершины ( C ) до плоскости ( BDS_1 ) равно 1.

Для нахождения расстояния от вершины С до плоскости ВДS1 можно воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости.

Плоскость ВДS1 проходит через точки В, Д и S1. Нормаль к этой плоскости можно найти как векторное произведение векторов ВD и DS1.

Найдем векторы ВD и DS1. Вектор ВD можно найти как разность координат точек В и D: ВD = (1-1, 0-1, 0-0) = (0, -1, 0).

Аналогично, вектор DS1 можно найти как разность координат точек D и S1: DS1 = (1-0, 1-0, 1-1) = (1, 1, 0).

Теперь найдем нормаль к плоскости как векторное произведение ВD и DS1: n = ВD x DS1 = (0, -1, 0) x (1, 1, 0) = (0, 0, 1).

Таким образом, нормаль к плоскости равна (0, 0, 1).

Теперь найдем уравнение плоскости ВДS1. Учитывая, что плоскость проходит через точку В(1,0,0), мы можем записать уравнение плоскости в виде:

0x + 0y + 1*z - z = 0,

то есть z = 0.

Теперь найдем координаты точки C. Точка C расположена на ребре куба и имеет координаты (1, 0, 1). Подставим координаты точки C в уравнение плоскости:

01 + 00 + 1*1 - 1 = 0,

то есть расстояние от вершины C до плоскости ВДS1 равно 1.

Таким образом, расстояние от вершины C до плоскости ВДS1 равно 1.