РЕШИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА) Площадь квадрата равна S. Найдите: а) длинну описанной окружности б) длину дуги,...

а) Длина описанной окружности равна 4√(S/π) б) Длина дуги, стягиваемой стороной квадрата, равна √(2S) в) Площадь части описанного круга, лежащей вне квадрата, равна πS - S.

Для решения задач, связанных с квадратом и описанной окружностью, нам нужно вспомнить некоторые базовые геометрические факты и формулы.

Дано: Площадь квадрата равна ( S ).

Из площади квадрата ( S ) можно найти длину стороны квадрата ( a ): [ a = \sqrt{S}. ]

а) Длина описанной окружности:

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины квадрата. Центр этой окружности находится в центре квадрата, а радиус равен половине длины диагонали квадрата.

Диагональ квадрата ( d ) выражается через сторону ( a ) как: [ d = a\sqrt{2}. ]

Радиус описанной окружности ( R ) равен половине длины диагонали: [ R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}. ]

Длина окружности ( C ) с радиусом ( R ) вычисляется по формуле: [ C = 2\pi R = 2\pi \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = a\pi\sqrt{2}. ]

б) Длина дуги, стягиваемой стороной квадрата:

Длина дуги окружности с радиусом ( R ), стягиваемой хордой длины ( a ), пропорциональна углу ( \theta ) в радианах, который эта дуга охватывает. Поскольку квадрат симметричен, сторона квадрата стягивает дугу, соответствующую центральному углу ( 90^\circ ) или ( \frac{\pi}{2} ) радиан.

Длина дуги ( L ) определяется формулой: [ L = R \cdot \theta = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{a\pi\sqrt{2}}{4}. ]

в) Площадь части описанного круга, лежащей вне квадрата:

Площадь описанного круга ( A{\text{окружности}} ) равна: [ A{\text{окружности}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}. ]

Площадь квадрата равна ( S ), то есть ( a^2 ).

Площадь части круга, лежащей вне квадрата, равна разности площадей круга и квадрата: [ A{\text{вне}} = A{\text{окружности}} - S = \frac{\pi a^2}{2} - a^2 = a^2 \left(\frac{\pi}{2} - 1\right). ]

Теперь у нас есть все необходимые результаты:

а) Длина описанной окружности: ( a\pi\sqrt{2} ).

б) Длина дуги, стягиваемой стороной квадрата: ( \frac{a\pi\sqrt{2}}{4} ).

в) Площадь части описанного круга, лежащей вне квадрата: ( a^2 \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) ).

а) Для нахождения длины описанной окружности нужно найти длину стороны квадрата, так как она будет равна диаметру описанной окружности. Для этого нужно найти корень из площади квадрата, то есть квадратный корень из S. Зная длину стороны квадрата, можно найти длину описанной окружности по формуле: длина окружности = диаметр * π.

б) Для нахождения длины дуги, стягиваемой стороной квадрата, нужно найти угол, на который она соответствует. Этот угол равен 90 градусов, так как квадрат обладает прямыми углами. Длина дуги можно найти по формуле: длина дуги = (угол в радианах) * (радиус описанной окружности).

в) Площадь части описанного круга, лежащей вне квадрата, равна площади всего круга минус площадь квадрата. Площадь круга равна π (радиус описанной окружности)^2, а площадь квадрата равна S. Таким образом, площадь части описанного круга, лежащей вне квадрата, будет равна π (радиус описанной окружности)^2 - S.