Сечение делит поверхность сферы на части, площади которых равны 20 пи и 80 пи. найдите объемы этих частей

Для решения задачи о разделении сферы на две части с равными площадями сечений, нужно учитывать геометрические особенности сферы и свойства её сечений. Давайте разберём задачу подробно.

Шаг 1. Параметры сферы

Пусть сфера имеет радиус ( R ). Общая площадь поверхности сферы равна: [ S{\text{сферы}} = 4 \pi R^2. ] Из условия известно, что сечение сферы делит её поверхность на две части с площадями ( 20\pi ) и ( 80\pi ). Это значит, что: [ 20 \pi + 80 \pi = 100 \pi. ] Таким образом, общая площадь сферы ( S{\text{сферы}} ) равна ( 100 \pi ). Отсюда находим радиус ( R ): [ 4 \pi R^2 = 100 \pi, ] [ R^2 = 25, \quad R = 5. ]

Радиус сферы равен ( R = 5 ).

Шаг 2. Сечение сферы

Сечение сферы плоскостью делит её на две части. Эти части представляют собой сегменты сферы, которые ограничены сферическими крышами. Для нахождения объёма каждой части воспользуемся геометрией сферических сегментов.

Шаг 3. Формула объёма сферического сегмента

Объём сферического сегмента (части сферы, отделённой плоскостью) определяется формулой: [ V = \frac{\pi h^2}{3} (3R - h), ] где:

• ( R ) — радиус сферы,
• ( h ) — высота сегмента, то есть расстояние от сечения до ближайшей точки сферы.

Сечение делит сферу на два сегмента. Один из них имеет высоту ( h_1 ), а второй — высоту ( h_2 ). Эти высоты связаны соотношением: [ h_1 + h_2 = 2R, ] так как сумма высот двух сегментов равна диаметру сферы.

Шаг 4. Поиск высот ( h_1 ) и ( h_2 )

Площади сферических сегментов связаны с высотами. Площадь сферического сегмента выражается через радиус сферы и высоту как: [ S = 2 \pi R h. ] Для первого сегмента: [ 20 \pi = 2 \pi R h_1. ] Подставим ( R = 5 ): [ 20 \pi = 2 \pi \cdot 5 \cdot h_1, ] [ h_1 = 2. ]

Для второго сегмента: [ 80 \pi = 2 \pi R h_2. ] Подставим ( R = 5 ): [ 80 \pi = 2 \pi \cdot 5 \cdot h_2, ] [ h_2 = 8. ]

Шаг 5. Вычисление объёмов

Теперь используем формулу объёма сферического сегмента для каждого из двух сегментов.

1. Для первого сегмента (( h_1 = 2 )): [ V_1 = \frac{\pi h_1^2}{3} (3R - h_1), ] [ V_1 = \frac{\pi \cdot 2^2}{3} (3 \cdot 5 - 2), ] [ V_1 = \frac{\pi \cdot 4}{3} \cdot 13, ] [ V_1 = \frac{52 \pi}{3}. ]

2. Для второго сегмента (( h_2 = 8 )): [ V_2 = \frac{\pi h_2^2}{3} (3R - h_2), ] [ V_2 = \frac{\pi \cdot 8^2}{3} (3 \cdot 5 - 8), ] [ V_2 = \frac{\pi \cdot 64}{3} \cdot 7, ] [ V_2 = \frac{448 \pi}{3}. ]

Шаг 6. Проверка

Объём всей сферы равен: [ V{\text{сферы}} = \frac{4}{3} \pi R^3. ] Подставляем ( R = 5 ): [ V{\text{сферы}} = \frac{4}{3} \pi \cdot 5^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500 \pi}{3}. ] Сумма объёмов двух сегментов: [ V_1 + V_2 = \frac{52 \pi}{3} + \frac{448 \pi}{3} = \frac{500 \pi}{3}. ] Сумма совпадает с объёмом всей сферы, значит, расчёты верны.

Ответ:

Объём первой части: ( \frac{52 \pi}{3} ).
Объём второй части: ( \frac{448 \pi}{3} ).

Для решения задачи необходимо использовать свойства сферы и формулы для нахождения объемов.

Пусть радиус сферы равен ( R ). Площадь поверхности сферы определяется формулой:

[ S = 4\pi R^2 ]

В данном случае, сечение делит поверхность сферы на две части с площадями ( S_1 = 20\pi ) и ( S_2 = 80\pi ). Поскольку сумма площадей частей равна площади всей поверхности сферы, мы можем написать:

[ S_1 + S_2 = S \Rightarrow 20\pi + 80\pi = 100\pi ]

Отсюда следует, что площадь поверхности сферы равна:

[ 4\pi R^2 = 100\pi ]

Делим обе стороны на ( 4\pi ):

[ R^2 = 25 \Rightarrow R = 5 ]

Теперь, когда мы знаем радиус сферы, можем найти объемы частей, образованных сечением.

Объем сферы определяется формулой:

[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 ]

Подставим значение радиуса:

[ V = \frac{4}{3} \pi (5)^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 125 = \frac{500}{3} \pi ]

Теперь, чтобы найти объемы частей, нам нужно учесть, что сечение делит сферу на две части с отношением площадей ( S_1 : S_2 = 20\pi : 80\pi = 1 : 4 ). Это означает, что объемы также будут делиться в том же соотношении.

Обозначим объемы частей как ( V_1 ) и ( V_2 ). Тогда:

[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{4} ]

Пусть ( V_1 = V ) и ( V_2 = 4V ). Тогда суммарный объем будет:

[ V + 4V = 5V ]

Сравнивая с полным объемом сферы, мы получаем:

[ 5V = \frac{500}{3} \pi \Rightarrow V = \frac{500}{15} \pi = \frac{100}{3} \pi ]

Теперь можем найти объемы частей:

1. Для первой части (объем ( V_1 )): [ V_1 = \frac{100}{3} \pi ]

2. Для второй части (объем ( V_2 )): [ V_2 = 4V_1 = 4 \cdot \frac{100}{3} \pi = \frac{400}{3} \pi ]

Таким образом, объемы частей, на которые делит сферу сечение, равны:

• ( V_1 = \frac{100}{3} \pi )
• ( V_2 = \frac{400}{3} \pi )