Сечение шара площадью 16 π см2 находится на расстоянии 3 см от центра шара.Найдите площадь поверхности...

Для решения задачи сначала определим радиус шара с помощью площади сечения.

1. Площадь сечения: Площадь круглого сечения шара определяется по формуле: [ S = \pi r^2 ] где ( r ) — радиус сечения. Из условия задачи известно, что площадь сечения равна ( 16\pi ) см². Подставим это значение в формулу: [ 16\pi = \pi r^2 ] Упростим уравнение, разделив обе стороны на ( \pi ): [ 16 = r^2 ] Теперь найдем радиус сечения: [ r = \sqrt{16} = 4 \text{ см} ]

2. Определение радиуса шара: Сечение находится на расстоянии ( h = 3 ) см от центра шара. Используя теорему Пифагора, мы можем связать радиус шара ( R ), радиус сечения ( r ) и расстояние от центра до плоскости сечения ( h ): [ R^2 = r^2 + h^2 ] Подставим известные значения: [ R^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 ] Найдем радиус шара: [ R = \sqrt{25} = 5 \text{ см} ]

3. Площадь поверхности шара: Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: [ S{\text{sphere}} = 4\pi R^2 ] Подставим найденное значение радиуса: [ S{\text{sphere}} = 4\pi (5^2) = 4\pi \cdot 25 = 100\pi \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь поверхности шара составляет ( 100\pi ) см².

Чтобы найти площадь поверхности шара, начнем с анализа геометрической ситуации.

Дано:

1. Площадь сечения шара ( S ) равна ( 16\pi \, \text{см}^2 ).
2. Расстояние от центра шара до сечения равно ( 3 \, \text{см} ).

Наша цель — найти площадь поверхности шара ( S_{\text{шар}} ).

1. Формула площади сечения шара

Площадь сечения шара равна площади круга, вырезанного плоскостью внутри шара. Радиус этого круга можно найти из площади сечения: [ S = \pi r{\text{сечения}}^2, ] где ( r{\text{сечения}} ) — радиус круга-сечения. Подставим значение ( S = 16\pi ): [ 16\pi = \pi r{\text{сечения}}^2. ] Разделим обе части на ( \pi ): [ r{\text{сечения}}^2 = 16. ] Извлекаем корень: [ r_{\text{сечения}} = 4 \, \text{см}. ]

2. Геометрическая связь между радиусом шара, радиусом сечения и расстоянием до центра

Сечение шара плоскостью параллельно отношению между радиусом шара ( R ), радиусом сечения ( r{\text{сечения}} ), и расстоянием от центра шара до сечения ( d ). Эта связь выражается через теорему Пифагора: [ R^2 = r{\text{сечения}}^2 + d^2, ] где:

• ( R ) — радиус шара,
• ( r_{\text{сечения}} ) — радиус круга-сечения (( 4 \, \text{см} )),
• ( d ) — расстояние от центра шара до сечения (( 3 \, \text{см} )).

Подставляем известные значения: [ R^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25. ] Извлекаем корень: [ R = 5 \, \text{см}. ]

3. Формула площади поверхности шара

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: [ S{\text{шар}} = 4\pi R^2. ] Подставляем ( R = 5 ): [ S{\text{шар}} = 4\pi (5^2) = 4\pi \cdot 25 = 100\pi \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь поверхности шара равна: [ \boxed{100\pi \, \text{см}^2}. ]