Середины сторон правильного восьмиугольника последовательно соединены через одну так, что образовался...

Для решения этой задачи нам нужно учесть, что правильный восьмиугольник имеет 8 равных сторон. Поскольку мы соединяем середины сторон через одну, мы получаем четыре равных отрезка, которые образуют новый четырёхугольник.

Таким образом, каждая сторона нового четырёхугольника будет состоять из половины стороны восьмиугольника. Поскольку периметр восьмиугольника равен 16 см, то каждая сторона восьмиугольника равна 2 см. Следовательно, каждая сторона нового четырёхугольника будет равна 1 см.

Учитывая, что у нас 4 равные стороны, периметр четырёхугольника равен 4 см + 4 см + 4 см + 4 см = 16 см.

Итак, периметр этого четырёхугольника равен 16 см.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Нахождение стороны восьмиугольника:

   Периметр правильного восьмиугольника равен 16 см. Поскольку у него 8 сторон, длина каждой стороны восьмиугольника будет:

   [ a = \frac{16}{8} = 2 \text{ см}. ]

2. Нахождение координат вершин восьмиугольника:

   Чтобы удобно работать с восьмиугольником, представим его вписанным в окружность. Предположим, что этот восьмиугольник вписан в окружность радиусом ( R ). Связь между радиусом ( R ) и стороной ( a ) правильного восьмиугольника дается формулой:

   [ a = R \cdot \sqrt{2 - 2\cos\left(\frac{360^\circ}{8}\right)} = R \cdot \sqrt{2 - 2\cos(45^\circ)} = R \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}. ]

   Подставляя ( a = 2 ):

   [ 2 = R \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}. ]

   Решив это уравнение, находим:

   [ R = \frac{2}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}. ]

3. Середины сторон восьмиугольника:

   Обозначим вершины правильного восьмиугольника как ( A_1, A_2, \ldots, A_8 ). Середины сторон будут ( M_1, M_2, \ldots, M_8 ), где ( M_i ) — середина ( AiA{i+1} ).

4. Соединение через одну середину:

   По условию задачи, середины соединяются через одну, то есть ( M_1, M_3, M_5, M_7 ).

5. Определение типа четырёхугольника:

   Поскольку мы соединяем середины сторон правильного восьмиугольника, четырёхугольник, образованный этими серединами, является квадратом. Это следует из симметрии правильного восьмиугольника.

6. Нахождение стороны четырёхугольника:

   Известно, что если мы соединяем середины сторон правильного восьмиугольника в описанном порядке, то расстояние между любыми двумя несмежными серединами равно длине стороны восьмиугольника.

   Таким образом, сторона нового четырёхугольника (квадрата) будет равна стороне восьмиугольника, то есть 2 см.

7. Вычисление периметра четырёхугольника:

   Поскольку это квадрат, периметр равен:

   [ P = 4 \times 2 = 8 \text{ см}. ]

Таким образом, периметр образованного четырёхугольника составляет 8 см.