Середины сторон треугольника abc имеют координаты m (3; -2; -4) n (-6; 4; -10) k (-7; 2; -12). Найдите...

Для нахождения координат вершин треугольника abc можно воспользоваться формулой середины отрезка: координаты середины отрезка mn равны среднему арифметическому координат концов отрезка. То же самое справедливо для отрезков mk и kn. Таким образом, можно найти координаты вершин треугольника abc.

Для нахождения координат вершин треугольника abc можно воспользоваться следующим методом.

Предположим, что координаты вершин треугольника abc обозначены как A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2) и C(x3; y3; z3).

Так как точка M является серединой стороны AB, то координаты точки M можно найти как среднее арифметическое координат вершин A и B: x_M = (x_A + x_B) / 2 y_M = (y_A + y_B) / 2 z_M = (z_A + z_B) / 2

Подставив известные значения координат точек M и A, получаем уравнения: 3 = (x1 + x2) / 2 -2 = (y1 + y2) / 2 -4 = (z1 + z2) / 2

Аналогично для точек N и K: -6 = (x1 + x3) / 2 4 = (y1 + y3) / 2 -10 = (z1 + z3) / 2

-7 = (x2 + x3) / 2 2 = (y2 + y3) / 2 -12 = (z2 + z3) / 2

Решив систему уравнений, можно найти координаты вершин треугольника abc.

Для нахождения координат вершин треугольника ( ABC ) с известными координатами середин сторон ( M ), ( N ) и ( K ), можно воспользоваться свойствами медиан треугольника и системой уравнений.

Предположим, что координаты вершин треугольника ( A ), ( B ) и ( C ) равны:

• ( A (x_1, y_1, z_1) )
• ( B (x_2, y_2, z_2) )
• ( C (x_3, y_3, z_3) )

Середины сторон треугольника можно выразить через координаты вершин следующим образом:

• Середина ( M ) стороны ( BC ) имеет координаты: [ M \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2}, \frac{z_2 + z_3}{2} \right) = (3, -2, -4) ]
• Середина ( N ) стороны ( AC ) имеет координаты: [ N \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}, \frac{z_1 + z_3}{2} \right) = (-6, 4, -10) ]
• Середина ( K ) стороны ( AB ) имеет координаты: [ K \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right) = (-7, 2, -12) ]

Теперь составим систему уравнений на основе этих координат:

1. Для ( M ): [ \begin{cases} \frac{x_2 + x_3}{2} = 3 \ \frac{y_2 + y_3}{2} = -2 \ \frac{z_2 + z_3}{2} = -4 \end{cases} ] Умножим каждое уравнение на 2: [ \begin{cases} x_2 + x_3 = 6 \ y_2 + y_3 = -4 \ z_2 + z_3 = -8 \end{cases} ]

2. Для ( N ): [ \begin{cases} \frac{x_1 + x_3}{2} = -6 \ \frac{y_1 + y_3}{2} = 4 \ \frac{z_1 + z_3}{2} = -10 \end{cases} ] Умножим каждое уравнение на 2: [ \begin{cases} x_1 + x_3 = -12 \ y_1 + y_3 = 8 \ z_1 + z_3 = -20 \end{cases} ]

3. Для ( K ): [ \begin{cases} \frac{x_1 + x_2}{2} = -7 \ \frac{y_1 + y_2}{2} = 2 \ \frac{z_1 + z_2}{2} = -12 \end{cases} ] Умножим каждое уравнение на 2: [ \begin{cases} x_1 + x_2 = -14 \ y_1 + y_2 = 4 \ z_1 + z_2 = -24 \end{cases} ]

Теперь у нас есть система из трех уравнений для каждой координаты:

Для ( x ): [ \begin{cases} x_2 + x_3 = 6 \ x_1 + x_3 = -12 \ x_1 + x_2 = -14 \end{cases} ]

Для ( y ): [ \begin{cases} y_2 + y_3 = -4 \ y_1 + y_3 = 8 \ y_1 + y_2 = 4 \end{cases} ]

Для ( z ): [ \begin{cases} z_2 + z_3 = -8 \ z_1 + z_3 = -20 \ z_1 + z_2 = -24 \end{cases} ]

Решим систему для каждой координаты отдельно.

Решение для ( x ):

1. Из уравнения ( x_1 + x_3 = -12 ) выразим ( x_1 ): [ x_1 = -12 - x_3 ]

2. Подставим ( x_1 ) в уравнение ( x_1 + x_2 = -14 ): [ (-12 - x_3) + x_2 = -14 \implies x_2 = -2 + x_3 ]

3. Подставим ( x_2 ) и ( x_3 ) в уравнение ( x_2 + x_3 = 6 ): [ (-2 + x_3) + x_3 = 6 \implies 2x_3 = 8 \implies x_3 = 4 ] [ x_2 = -2 + 4 = 2 ] [ x_1 = -12 - 4 = -16 ]

Решение для ( y ):

1. Из уравнения ( y_1 + y_3 = 8 ) выразим ( y_1 ): [ y_1 = 8 - y_3 ]

2. Подставим ( y_1 ) в уравнение ( y_1 + y_2 = 4 ): [ (8 - y_3) + y_2 = 4 \implies y_2 = -4 + y_3 ]

3. Подставим ( y_2 ) и ( y_3 ) в уравнение ( y_2 + y_3 = -4 ): [ (-4 + y_3) + y_3 = -4 \implies 2y_3 = 0 \implies y_3 = 0 ] [ y_2 = -4 + 0 = -4 ] [ y_1 = 8 - 0 = 8 ]

Решение для ( z ):

1. Из уравнения ( z_1 + z_3 = -20 ) выразим ( z_1 ): [ z_1 = -20 - z_3 ]

2. Подставим ( z_1 ) в уравнение ( z_1 + z_2 = -24 ): [ (-20 - z_3) + z_2 = -24 \implies z_2 = -4 + z_3 ]

3. Подставим ( z_2 ) и ( z_3 ) в уравнение ( z_2 + z_3 = -8 ): [ (-4 + z_3) + z_3 = -8 \implies 2z_3 = -4 \implies z_3 = -2 ] [ z_2 = -4 + (-2) = -6 ] [ z_1 = -20 - (-2) = -18 ]

Итак, координаты вершин треугольника ( ABC ) :

• ( A (-16, 8, -18) )
• ( B (2, -4, -6) )
• ( C (4, 0, -2) )