Сфера касается граней двугранного угла величиной 150°. Ближайшее расстояние по сфере между точками касания...

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться теоремой о том, что при касании окружность касается её касательной под прямым углом.

Итак, у нас имеется двугранный угол величиной 150°. Так как сфера касается граней данного угла, то это значит, что она касается его боковой поверхности. Поскольку угол 150°, то боковая поверхность двугранного угла составляет 30°.

Теперь, мы знаем, что ближайшее расстояние по сфере между точками касания равно 36π. Так как сфера касается боковой поверхности под прямым углом, то это расстояние является диаметром сферы. Следовательно, радиус сферы равен половине этого расстояния, то есть 18π.

Итак, радиус сферы R равен 18π единиц измерения.

Для решения этой задачи нам необходимо использовать свойства геометрических фигур и некоторые свойства кругов и сфер.

1. Анализ задачи: Сфера касается двугранных граней, образующих угол 150°. Точки касания на сфере находятся на кратчайшем расстоянии друг от друга, поскольку это касательные точки. Это кратчайшее расстояние по поверхности сферы является дугой большого круга, проходящего через точки касания.

2. Использование свойств большого круга: Расстояние по поверхности сферы между двумя точками, лежащими на большом круге, можно выразить через радиус сферы ( R ) и угол ( \theta ) в радианах между этими точками по формуле длины дуги ( L = R \times \theta ).

3. Определение угла между точками касания: Угол между точками касания на большом круге соответствует углу двугранного угла, т.е. 150°. Однако, поскольку сфера касается обеих граней, реальный угол ( \theta ), который нам нужен, находится между перпендикулярами к граням, исходящими из центра сферы. Так как угол двугранного угла 150°, то угол между перпендикулярами, исходящими из центра сферы, составляет ( 180° - 150° = 30° ).

4. Перевод градусов в радианы: Угол в радианах равен ( \theta = 30° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{\pi}{6} ).

5. Решение для радиуса: Подставляем известные значения в формулу длины дуги: [ 36\pi = R \times \frac{\pi}{6} ] [ R = 36\pi \times \frac{6}{\pi} ] [ R = 216 ]

Таким образом, радиус сферы составляет 216 единиц измерения.