Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника
Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника
Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника утверждает, что биссектриса угла, противолежащего основанию равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой.
Формулировка теоремы: В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, противолежащего основанию, одновременно является медианой и высотой, то есть делит противоположную сторону (основание) пополам и перпендикулярна ей.
Доказательство:
Пусть треугольник ABC - равнобедренный, где AB = AC. Рассмотрим угол BAC, биссектриса которого BD делит угол BAC на два равных угла ABD и DBC.
Биссектриса: По определению биссектрисы, ∠ABD = ∠DBC.
Медиана: Докажем, что BD является медианой. Так как AB = AC и BD - биссектриса угла BAC, треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу между ними (AB = AC, BD - общая, ∠ABD = ∠CBD). По теореме о равенстве треугольников (правило сторона-угол-сторона), следует, что треугольники ABD и CBD равны, а значит, их соответствующие стороны равны, в частности, AD = DC. Это означает, что BD является медианой, так как точка D делит сторону BC пополам.
Высота: Поскольку треугольники ABD и CBD равны, то ∠ADB = ∠CDB. Но поскольку ∠ADB и ∠CDB в сумме составляют прямой угол (180°, так как они смежные углы), каждый из них равен 90°. Это означает, что BD перпендикулярна BC, и следовательно, BD является высотой.
Таким образом, биссектриса угла BAC в равнобедренном треугольнике ABC является медианой и высотой, что и требовалось доказать.
Теорема о биссектрисе равнобедренного треугольника утверждает, что биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит этот угол на два равных угла.
Для доказательства этой теоремы обратимся к свойству равнобедренного треугольника, которое гласит, что боковые стороны равны. Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Проведем биссектрису угла BAC и обозначим точку их пересечения с основанием треугольника BC как D.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то угол BAC = угол BCA. По свойству биссектрисы угла, угол CAD = угол DAB. Также угол BCA = угол BAC. Из этих равенств следует, что угол CAD = угол DAB = угол BAC / 2.
Таким образом, биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника действительно делит этот угол на два равных угла. Теорема доказана.
