Чтобы найти косинус и тангенс угла (\alpha), когда известен синус этого угла, воспользуемся тригонометрическими соотношениями. Дано, что (\sin \alpha = \frac{3}{7}).
- Найдем косинус угла (\alpha):
Используем основное тригонометрическое тождество:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
Подставляем известное значение синуса:
[
\left(\frac{3}{7}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
]
Вычисляем (\left(\frac{3}{7}\right)^2):
[
\frac{9}{49} + \cos^2 \alpha = 1
]
Вычисляем (\cos^2 \alpha):
[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{49} = \frac{49}{49} - \frac{9}{49} = \frac{40}{49}
]
Теперь находим (\cos \alpha):
[
\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{40}{49}} = \pm \frac{\sqrt{40}}{7}
]
Упрощаем (\sqrt{40}):
[
\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2 \sqrt{10}
]
Таким образом:
[
\cos \alpha = \pm \frac{2\sqrt{10}}{7}
]
Знак косинуса зависит от квадранта, в котором находится угол (\alpha).
- Найдем тангенс угла (\alpha):
Тангенс выражается через синус и косинус:
[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{7}}{\frac{2\sqrt{10}}{7}}
]
Упростим выражение:
[
\tan \alpha = \frac{3}{2\sqrt{10}}
]
Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{10}):
[
\tan \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{20}
]
Таким образом, если (\cos \alpha = \frac{2\sqrt{10}}{7}), то
(\tan \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{20}). Если (\cos \alpha = -\frac{2\sqrt{10}}{7}), то
(\tan \alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{20}).
Итак, косинус (\alpha) может быть (\pm \frac{2\sqrt{10}}{7}), а тангенс (\alpha) может быть (\pm \frac{3\sqrt{10}}{20}), в зависимости от квадранта, в котором находится угол (\alpha).