Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 8:5, а разность площадей треугольников равна 156см в квадрате. Найдите площади этих треугольников.
Сходственные стороны подобных треугольников относятся как 8:5, а разность площадей треугольников равна 156см в квадрате. Найдите площади этих треугольников.
Пусть площадь первого треугольника равна 8x, а второго - 5x. Тогда 8x - 5x = 156, откуда x = 52. Площади треугольников равны 8x = 416 см² и 5x = 260 см².
Пусть площадь первого треугольника равна S1, а площадь второго треугольника равна S2. Также пусть длины сходственных сторон относятся как 8:5, то есть если считать их коэффициентом пропорциональности, то это будет 8/5.
Так как площадь треугольника пропорциональна квадрату длины стороны, то отношение площадей треугольников также будет равно квадрату отношения длин сходственных сторон, то есть (8/5)^2 = 64/25.
Таким образом, получаем уравнение:
S1/S2 = 64/25
Также из условия задачи известно, что разность площадей треугольников равна 156 см в квадрате:
S1 - S2 = 156
Теперь решим систему уравнений:
S1/S2 = 64/25 S1 - S2 = 156
Из первого уравнения можно выразить S1 через S2:
S1 = 64/25 * S2
Подставляем во второе уравнение:
64/25 * S2 - S2 = 156
Решаем уравнение и находим S2:
64/25 S2 - 25/25 S2 = 156 39/25 S2 = 156 S2 = 156 25 / 39 S2 = 100
Теперь находим S1:
S1 = 64/25 * 100 S1 = 256
Итак, площадь первого треугольника равна 256 см в квадрате, а площадь второго треугольника равна 100 см в квадрате.
Для решения данной задачи воспользуемся свойством подобных треугольников: площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон. Таким образом, если стороны треугольников относятся как 8:5, то площади треугольников будут относиться как (8^2) к (5^2), то есть как 64 к 25.
Обозначим площади треугольников как (S_1) и (S_2), причём (S_1 > S_2). Тогда из соотношения площадей имеем: [ \frac{S_1}{S_2} = \frac{64}{25} ]
Также известно, что разность площадей этих треугольников составляет 156 см²: [ S_1 - S_2 = 156 \text{ см}^2 ]
Используя выражение для отношения площадей, можно выразить (S_1) через (S_2): [ S_1 = \frac{64}{25} S_2 ]
Подставляем это в уравнение разности площадей: [ \frac{64}{25}S_2 - S_2 = 156 ]
Приведём левую часть к общему знаменателю: [ \frac{64S_2 - 25S_2}{25} = 156 ] [ \frac{39S_2}{25} = 156 ] [ 39S_2 = 156 \times 25 ] [ 39S_2 = 3900 ] [ S_2 = \frac{3900}{39} ] [ S_2 = 100 \text{ см}^2 ]
Теперь найдём (S_1): [ S_1 = \frac{64}{25} \times 100 = 256 \text{ см}^2 ]
Таким образом, площади подобных треугольников равны 256 см² и 100 см² соответственно.
