Средняя линия равнобедренной трапеции равна ее высоте. доказать, что диагонали этой трапеции взаимно...

Для доказательства того, что диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, рассмотрим следующую ситуацию.

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AB и CD - параллельные основания, а AD = BC - боковые стороны. Проведем высоту треугольника ABC из вершины A, обозначим точку пересечения высоты с основанием CD как E.

Так как средняя линия трапеции равна ее высоте, то точка E является серединой основания CD. Следовательно, CE = ED.

Также, так как трапеция ABCD равнобедренная, то углы A и B равны, а значит треугольники ADE и BCE равнобедренные, так как у них равны соответствующие углы и стороны AD = BC.

Из равенства CE = ED и равнобедренности треугольников ADE и BCE следует, что DE = EC и AE = BE.

Теперь рассмотрим треугольники ADE и BEC. У них равны стороны AE = BE и DE = EC, а также у них равны углы при вершине E (по построению). Следовательно, по критерию равенства треугольников, треугольники ADE и BEC равны.

Из равенства DE = EC следует, что отрезки DE и EC равны друг другу. А так как отрезки DE и EC являются диагоналями трапеции, то получаем, что диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны.

Давайте рассмотрим равнобедренную трапецию ( ABCD ), где ( AB \parallel CD ), ( AB < CD ), и ( AD = BC ). Пусть ( M ) и ( N ) — середины оснований ( AB ) и ( CD ) соответственно. Средняя линия ( MN ) равна (\frac{AB + CD}{2}) и, по условию, равна высоте трапеции ( h ).

Мы должны доказать, что диагонали ( AC ) и ( BD ) взаимно перпендикулярны.

1. Выразим высоту через основания:

   По условию, средняя линия и высота трапеции равны, то есть: [ h = \frac{AB + CD}{2} ]

2. Используем свойства равнобедренной трапеции:

   В равнобедренной трапеции диагонали равны: ( AC = BD ).

3. Рассмотрим треугольники:

   Рассмотрим треугольники ( \triangle AMD ) и ( \triangle BMC ). Эти треугольники равны, так как:

   • ( AM = BM = \frac{AB}{2} )
   • ( AD = BC )
   • ( MD = MC = \frac{CD}{2} )

   Следовательно, треугольники равны по трем сторонам.

4. Используем условие равенства средней линии и высоты:

   В этих равных треугольниках высота ( h ) делит основание пополам, и по условию: [ h = \frac{AB + CD}{2} ]

5. Докажем перпендикулярность диагоналей:

   Рассмотрим точки пересечения диагоналей ( AC ) и ( BD ). Обозначим точку пересечения через ( O ).

   В равнобедренной трапеции, если средняя линия равна высоте, то диагонали пересекаются в точке, которая является ортоцентром треугольника, образованного диагоналями и высотой. Таким образом, диагонали ( AC ) и ( BD ) будут взаимно перпендикулярны.

Ещё один способ доказательства — использование векторного подхода, но данный способ с использованием геометрических свойств и симметрии более нагляден.

Таким образом, диагонали равнобедренной трапеции, у которой средняя линия равна высоте, действительно взаимно перпендикулярны.