Сторона основания и высота правильной треугольной пирамиды SABC равны 6 и 12 соответственно. Найдите...

Для решения задачи, найдем тангенс угла между боковым ребром ( SA ) и плоскостью основания ( ABC ) правильной треугольной пирамиды.

1. Основные параметры:

   • Сторона основания ( a = 6 )
   • Высота пирамиды ( h = 12 )

2. Координаты точек:

   • Пусть вершина пирамиды ( S ) находится в точке ( (0, 0, 12) ).
   • Основание пирамиды ( ABC ) — правильный треугольник с центром в начале координат ( (0, 0, 0) ) в плоскости ( z = 0 ).

3. Координаты вершин основания: Для правильного треугольника ( ABC ) со стороной 6, координаты можно найти следующим образом:

   • ( A = \left( -3, -\frac{3\sqrt{3}}{3}, 0 \right) = (-3, -\sqrt{3}, 0) )
   • ( B = \left( 3, -\frac{3\sqrt{3}}{3}, 0 \right) = (3, -\sqrt{3}, 0) )
   • ( C = (0, \frac{6\sqrt{3}}{3}, 0) = (0, 2\sqrt{3}, 0) )

4. Центр основания (центр треугольника): Координаты центра правильного треугольника ( ABC ): [ O = \left( \frac{A_x + B_x + C_x}{3}, \frac{A_y + B_y + C_y}{3}, 0 \right) = \left( \frac{-3 + 3 + 0}{3}, \frac{-\sqrt{3} -\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{3}, 0 \right) = (0, 0, 0) ]

5. Проекция бокового ребра ( SA ) на плоскость основания:

   • Вектор ( SA ) имеет координаты ( (A_x - S_x, A_y - S_y, A_z - S_z) = (-3 - 0, -\sqrt{3} - 0, 0 - 12) = (-3, -\sqrt{3}, -12) ).
   • Проекция вектора ( SA ) на плоскость основания (xy-плоскость) будет ( (-3, -\sqrt{3}, 0) ).

6. Длина вектора ( SA ): [ |SA| = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 3 + 144} = \sqrt{156} = 2\sqrt{39} ]

7. Длина проекции вектора ( SA ) на плоскость основания: [ |SA_{\text{проекция}}| = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ]

8. Тангенс угла ( \alpha ) между вектором ( SA ) и его проекцией на плоскость основания: [ \tan \alpha = \frac{\text{высота}}{\text{длина проекции}} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} ]

Таким образом, тангенс угла между боковым ребром ( SA ) и плоскостью основания пирамиды равен ( \boxed{2\sqrt{3}} ).

Для нахождения тангенса угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды воспользуемся геометрическими свойствами.

Поскольку SABC - правильная треугольная пирамида, то угол между боковым ребром и плоскостью основания равен углу наклона боковой грани к плоскости основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB - основание пирамиды, AC - боковое ребро, BC - высота пирамиды.

Так как сторона основания и высота пирамиды равны 6 и 12 соответственно, то по теореме Пифагора получаем, что длина бокового ребра AC равна: AC = √(AB^2 + BC^2) = √(6^2 + 12^2) = √(36 + 144) = √180 = 6√5

Теперь найдем тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды. Тангенс угла α равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике ABC, где α - угол между боковым ребром и плоскостью основания.

tg(α) = BC / AB = 12 / 6 = 2

Итак, тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен 2.