Сторона основания правильно треугольной пирамиды равна 4см, а боковое ребро 8см, Найдите её объем
Сторона основания правильно треугольной пирамиды равна 4см, а боковое ребро 8см, Найдите её объем
Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды нужно использовать формулу: V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.
Поскольку у нас правильная треугольная пирамида, то ее высота будет равна высоте бокового треугольника, образованного боковой стороной пирамиды и перпендикуляром, проведенным к основанию из вершины пирамиды. Для нахождения высоты такого треугольника можно воспользоваться теоремой Пифагора: h = √(r^2 - (a/2)^2), где r - радиус вписанной окружности, a - сторона основания.
Найдем радиус вписанной окружности: r = a √3 / 6, r = 4 √3 / 6, r = 2√3 / 3.
Теперь найдем высоту пирамиды: h = √((8)^2 - (4/2)^2), h = √(64 - 4), h = √60, h = 2√15.
Теперь найдем площадь основания пирамиды: S = (a^2 √3) / 4, S = (4^2 √3) / 4, S = 4√3.
И, наконец, найдем объем пирамиды: V = (1/3) 4√3 2√15, V = (8√3√15) / 3, V = (8 3 √5) / 3, V = 8√5.
Ответ: объем пирамиды равен 8√5 кубических сантиметров.
Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды нужно воспользоваться формулой объема пирамиды:
[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h, ]
где ( S_{основания} ) — площадь основания, а ( h ) — высота пирамиды.
Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной 4 см. Площадь ( S ) правильного треугольника можно найти по формуле:
[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2, ]
где ( a ) — сторона треугольника.
Подставим ( a = 4 ):
[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16 = 4\sqrt{3} \, \text{см}^2. ]
Чтобы найти высоту пирамиды, сначала найдем высоту боковой грани, которая является равнобедренным треугольником с основанием 4 см и боковыми сторонами 8 см.
Высота этого равнобедренного треугольника (обозначим её ( h_1 )) делит основание пополам, образуя два прямоугольных треугольника с катетами 2 см и ( h_1 ), и гипотенузой 8 см. Используем теорему Пифагора:
[ 8^2 = 2^2 + h_1^2 ]
[ 64 = 4 + h_1^2 ]
[ h_1^2 = 60 ]
[ h_1 = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \, \text{см}. ]
Теперь найдём высоту пирамиды ( h ). В правильной треугольной пирамиде высота опускается в центр основания, который является центром описанной окружности правильного треугольника. Радиус описанной окружности ( R ) для правильного треугольника равен:
[ R = \frac{a}{\sqrt{3}}, ]
где ( a = 4 ).
[ R = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \, \text{см}. ]
Теперь мы знаем радиус описанной окружности, и можем найти высоту пирамиды ( h ) из треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом описанной окружности и высотой боковой грани:
[ h_1^2 = h^2 + R^2 ]
[ (2\sqrt{15})^2 = h^2 + \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 ]
[ 60 = h^2 + \frac{48}{9} ]
[ h^2 = 60 - \frac{48}{9} ]
[ h^2 = \frac{540}{9} - \frac{48}{9} ]
[ h^2 = \frac{492}{9} ]
[ h = \sqrt{\frac{492}{9}} = \frac{\sqrt{492}}{3}. ]
Теперь подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу для объема:
[ V = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{492}}{3}. ]
Сначала упростим:
[ V = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{492}}{9}. ]
Вычислим ( \sqrt{492} ):
[ \sqrt{492} = \sqrt{4 \cdot 123} = 2\sqrt{123}. ]
Подставим обратно:
[ V = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{123}}{9} ]
[ V = \frac{8\sqrt{369}}{9}. ]
Таким образом, объем пирамиды равен ( \frac{8\sqrt{369}}{9} ) кубических сантиметров.
Объем правильной треугольной пирамиды равен ( \frac{1}{3} \times S{\text{осн}} \times h ), где ( S{\text{осн}} ) - площадь основания, ( h ) - высота пирамиды. Для нахождения высоты можно использовать теорему Пифагора: ( h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} ), где ( a ) - боковое ребро. Подставляем значения: ( h = \sqrt{8^2 - \left(\frac{8}{2}\right)^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} ) см. Теперь находим площадь основания: ( S_{\text{осн}} = \frac{a \times h}{2} = \frac{4 \times 4\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} ) см². И, наконец, находим объем: ( V = \frac{1}{3} \times 8\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} = \frac{1}{3} \times 96 = 32 ) см³.
