Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 см и 6 см, угол между ними равен 60 градусам. Большая...

Чтобы найти объем прямого параллелепипеда, нужно определить длины его трёх измерений: длины двух сторон основания и высоты.

1. Длины сторон основания: Даны стороны основания параллелепипеда ( a = 4 ) см и ( b = 6 ) см, и угол между ними ( \theta = 60^\circ ).

2. Вычисление площади основания: Поскольку основание параллелепипеда не является прямоугольником, его площадь ( S ) можно найти по формуле для площади параллелограмма: [ S = a \cdot b \cdot \sin(\theta) ] Подставим значения: [ S = 4 \cdot 6 \cdot \sin(60^\circ) ] Зная, что ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), получаем: [ S = 4 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

3. Диагональ основания: Диагональ основания ( d ) можно найти используя формулу диагонали параллелограмма: [ d = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\theta)} ] Подставим значения: [ d = \sqrt{4^2 + 6^2 + 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)} ] Зная, что ( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ), получаем: [ d = \sqrt{16 + 36 + 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \text{ см} ]

4. Высота параллелепипеда: Пусть высота параллелепипеда равна ( h ). Большая диагональ параллелепипеда ( D ) образует с плоскостью основания угол ( \alpha = 45^\circ ). Большая диагональ ( D ) можно рассчитать по формуле: [ D = \sqrt{d^2 + h^2} ] Так как угол между диагональю и плоскостью основания равен 45 градусов, то: [ \tan(45^\circ) = \frac{h}{d} ] Так как ( \tan(45^\circ) = 1 ), получаем: [ 1 = \frac{h}{2\sqrt{19}} ] Отсюда: [ h = 2\sqrt{19} ]

5. Вычисление объема параллелепипеда: Объем ( V ) параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: [ V = S \cdot h ] Подставим значения: [ V = 12\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{19} = 24\sqrt{57} \text{ см}^3 ]

Таким образом, объем данного прямого параллелепипеда составляет ( 24\sqrt{57} ) кубических сантиметров.

Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда воспользуемся формулой V = abc, где a, b и c - длины его трех сторон.

Из условия задачи имеем, что a = 4 см, b = 6 см и угол между ними равен 60 градусам. Так как угол между двумя сторонами равен 60 градусам, то третья сторона c равна √(a^2 + b^2 - 2abcos(60°)) = √(4^2 + 6^2 - 246cos(60°)) = √(16 + 36 - 480.5) = √28 см.

Теперь найдем длину большей диагонали параллелепипеда. Из условия задачи у нас есть угол между большой диагональю и плоскостью основания, который равен 45 градусам. Поэтому длина большей диагонали равна √(a^2 + b^2 + c^2) = √(4^2 + 6^2 + 28^2) = √(16 + 36 + 784) = √836 см.

Теперь можем найти объем параллелепипеда: V = abc = 4 6 √28 = 24√28 см³.

Объем параллелепипеда равен 48 кубических сантиметров.