Сумма длин всех репер куба равна 96 см.Вычислите:а)площадь диагонального сечения ;б) длину диагонали...

Для решения задачи начнем с анализа информации о реперах куба.

Реперы куба — это его ребра. В кубе 12 ребер, и если сумма длин всех ребер равна 96 см, то длина одного ребра (a) будет равна:

[ 12a = 96 \, \text{см} ]

Разделим обе стороны уравнения на 12:

[ a = \frac{96}{12} = 8 \, \text{см} ]

Теперь, зная длину ребра (a = 8 см), можем перейти к вычислению:

а) Площадь диагонального сечения

Диагональное сечение куба — это сечение, проходящее через три непараллельные вершины. Площадь диагонального сечения куба равна площади треугольника, который образуется при соединении центров трех непараллельных граней.

Чтобы найти площадь диагонального сечения, мы можем использовать формулу для площади треугольника, если известны длины сторон. В данном случае длины сторон равны длине ребра куба:

• Стороны треугольника равны a, a и a√2.

Площадь треугольника с равными сторонами (равносторонний треугольник) можно найти по формуле:

[ S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 ]

Подставим значение a:

[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (8)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2 ]

Таким образом, площадь диагонального сечения равна ( 16\sqrt{3} \, \text{см}^2 ).

б) Длина диагонали куба

Длину диагонали куба можно вычислить по формуле:

[ d = a\sqrt{3} ]

Подставим значение a:

[ d = 8\sqrt{3} \, \text{см} ]

В итоге:

1. Площадь диагонального сечения куба составляет ( 16\sqrt{3} \, \text{см}^2 ).
2. Длина диагонали куба равна ( 8\sqrt{3} \, \text{см} ).

Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

Сумма длин всех рёбер куба = 96 см.

Куб: основные свойства

1. Куб имеет 12 рёбер, и все они равны.
2. Если длина одного ребра куба равна ( a ), то сумма всех рёбер выражается как: [ 12a = 96 ] Отсюда находим: [ a = \frac{96}{12} = 8 \, \text{см}. ]

Теперь мы знаем, что длина ребра куба ( a = 8 \, \text{см} ). Используем это для решения задачи.

a) Площадь диагонального сечения куба

Диагональное сечение куба — это сечение, проходящее через две противоположные грани куба и содержащее диагонали этих граней. Это сечение представляет собой прямоугольник, у которого стороны равны:

• одной стороне куба ( a = 8 \, \text{см} ),
• и диагонали грани куба.

Вычислим диагональ грани куба:

Диагональ квадрата (грани куба) находится по теореме Пифагора: [ d{\text{грани}} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. ] Подставляем ( a = 8 ): [ d{\text{грани}} = 8\sqrt{2} \, \text{см}. ]

Теперь диагональное сечение — это прямоугольник со сторонами ( a ) и ( d{\text{грани}} ). Его площадь: [ S{\text{сечения}} = a \cdot d_{\text{грани}} = 8 \cdot 8\sqrt{2} = 64\sqrt{2} \, \text{см}^2. ]

б) Длина диагонали куба

Диагональ куба проходит между двумя противоположными вершинами куба. Она является гипотенузой треугольника, где:

• одна сторона равна ( a ),
• другая сторона — диагональ грани ( d_{\text{грани}} = a\sqrt{2} ).

По теореме Пифагора длина диагонали куба ( d{\text{куба}} ) выражается как: [ d{\text{куба}} = \sqrt{a^2 + d{\text{грани}}^2}. ] Подставляем ( d{\text{грани}} = a\sqrt{2} ): [ d{\text{куба}} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2}. ] Упрощаем: [ d{\text{куба}} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}. ] Подставляем ( a = 8 ): [ d_{\text{куба}} = 8\sqrt{3} \, \text{см}. ]

Ответ:

a) Площадь диагонального сечения: [ S_{\text{сечения}} = 64\sqrt{2} \, \text{см}^2. ]

б) Длина диагонали куба: [ d_{\text{куба}} = 8\sqrt{3} \, \text{см}. ]