Точка E не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD. BE перпендикулярна AB, BE перпендикулярна BC....

Для доказательства того, что отрезок BE перпендикулярен отрезку CD, можно воспользоваться свойством прямоугольника, который утверждает, что диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны и равны между собой.

Поскольку отрезок BE является диагональю прямоугольника ABCD (так как точка E лежит вне плоскости прямоугольника), то он перпендикулярен одной из его сторон, в данном случае стороне AB. Из условия также известно, что отрезок BE перпендикулярен стороне BC.

Таким образом, отрезок BE является диагональю прямоугольника ABCD и перпендикулярен двум его сторонам AB и BC. Следовательно, он также перпендикулярен третьей стороне CD, поскольку диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны. Таким образом, отрезок BE действительно перпендикулярен отрезку CD.

Для доказательства того, что BE перпендикулярна CD, воспользуемся свойствами векторов и связанными с ними свойствами перпендикулярности.

1. Анализ данных и построение векторов: У нас есть прямоугольник ABCD, и точка E не лежит в плоскости этого прямоугольника. Известно, что BE перпендикулярно AB и BC.

2. Перпендикулярность BE к AB и BC: Поскольку BE перпендикулярно AB, векторное произведение векторов (\vec{BE}) и (\vec{AB}) равно нулю: [ \vec{BE} \cdot \vec{AB} = 0 ] Аналогично, так как BE перпендикулярно BC: [ \vec{BE} \cdot \vec{BC} = 0 ]

3. Использование свойства прямоугольника: Прямоугольник ABCD означает, что стороны AB и CD параллельны, а также равны. Также BC и AD параллельны и равны. Тогда векторы (\vec{AB}) и (\vec{CD}) коллинеарны и противоположны по направлению: [ \vec{CD} = -\vec{AB} ]

4. Проверка перпендикулярности BE и CD: Теперь проверим, перпендикулярен ли (\vec{BE}) вектору (\vec{CD}). Поскольку (\vec{CD} = -\vec{AB}), имеем: [ \vec{BE} \cdot \vec{CD} = \vec{BE} \cdot (-\vec{AB}) = -(\vec{BE} \cdot \vec{AB}) ] Мы уже знаем, что (\vec{BE} \cdot \vec{AB} = 0), поэтому: [ \vec{BE} \cdot \vec{CD} = -0 = 0 ]

5. Заключение: Поскольку (\vec{BE} \cdot \vec{CD} = 0), это означает, что вектор BE перпендикулярен вектору CD. Таким образом, линия BE перпендикулярна не только AB и BC, но также и CD в прямоугольнике ABCD.

Это доказывает, что BE перпендикулярна CD, используя свойства векторных произведений и коллинеарности векторов в прямоугольнике.

Так как BE перпендикулярна AB и перпендикулярна BC, то угол между линиями AB и BC равен 90 градусов. Таким образом, BE является высотой треугольника BCD, а значит, она перпендикулярна к стороне CD.