Точка K лежит на стороне AB,точка M на стороне CD параллелограмма ABCD,причем AK=KB,CM:MD=2:5-Выразить...

Для того чтобы выразить вектор KM через векторы p и q, сначала найдем векторы AK и CM.

Так как AK = KB, то вектор AK = 1/2 AB = 1/2 p.

Также, так как CM:MD = 2:5, то вектор CM = 2/7 CD = 2/7 q.

Теперь найдем вектор KM. Поскольку KM = KA + AM + MC, то

KM = AK + AM + MC = 1/2 p + AM + 2/7 q.

Так как AM = MD = 5/7 CD = 5/7 q, то

KM = 1/2 p + 5/7 q + 2/7 q = 1/2 p + 7/7 q = 1/2 p + q.

Итак, вектор KM может быть выражен через векторы p и q как KM = 1/2 * p + q.

Чтобы выразить вектор ( \vec{KM} ) через векторы ( \vec{p} = \vec{AB} ) и ( \vec{q} = \vec{AD} ), давайте рассмотрим шаг за шагом.

1. Определим местоположение точек ( K ) и ( M ):

   • Так как ( AK = KB ), точка ( K ) является серединой отрезка ( AB ). Это значит, что вектор ( \vec{AK} ) равен половине вектора ( \vec{AB} ): [ \vec{AK} = \frac{1}{2} \vec{AB} = \frac{1}{2} \vec{p} ]

   • Для точки ( M ) на стороне ( CD ), дано соотношение ( CM:MD = 2:5 ). Это означает, что точка ( M ) делит отрезок ( CD ) в отношении 2:5. Вектор ( \vec{CM} ) можно выразить через вектор ( \vec{CD} ) как: [ \vec{CM} = \frac{2}{2+5} \vec{CD} = \frac{2}{7} \vec{CD} ]

2. Выразим вектор ( \vec{CD} ) через ( \vec{p} ) и ( \vec{q} ):

   • В параллелограмме ( ABCD ), вектор ( \vec{CD} ) равен вектору ( \vec{AB} ), но с противоположным направлением, так как стороны ( AB ) и ( CD ) параллельны и равны. Следовательно, ( \vec{CD} = \vec{AB} = \vec{p} ).

3. Теперь выразим вектор ( \vec{M} ) через векторы ( \vec{p} ) и ( \vec{q} ):

   • Так как ( \vec{CM} = \frac{2}{7} \vec{CD} = \frac{2}{7} \vec{p} ), и если мы начинаем отсчет от точки ( C ), которая по правилу параллелограмма имеет координаты ( \vec{C} = \vec{q} + \vec{p} ), то вектор ( \vec{CM} ) будет: [ \vec{CM} = \vec{M} - \vec{C} = \frac{2}{7} \vec{p} ]

4. Находим вектор ( \vec{KM} ):

   • Вектор ( \vec{KM} ) можно выразить через разность векторов ( \vec{OM} - \vec{OK} ), где ( O ) - начало координат: [ \vec{OK} = \vec{OA} + \vec{AK} = \vec{q} + \frac{1}{2} \vec{p} ] [ \vec{OM} = \vec{OC} + \vec{CM} = (\vec{q} + \vec{p}) + \frac{2}{7} \vec{p} ]

   • Поэтому: [ \vec{KM} = \vec{OM} - \vec{OK} = \left((\vec{q} + \vec{p}) + \frac{2}{7} \vec{p}\right) - \left(\vec{q} + \frac{1}{2} \vec{p}\right) ] [ \vec{KM} = \vec{p} + \frac{2}{7} \vec{p} - \frac{1}{2} \vec{p} = \left(1 + \frac{2}{7} - \frac{1}{2}\right) \vec{p} ]

5. Приведем к общему знаменателю и упростим:

   • Приведем к общему знаменателю ( 14 ): [ 1 = \frac{14}{14}, \quad \frac{2}{7} = \frac{4}{14}, \quad \frac{1}{2} = \frac{7}{14} ] [ \left(\frac{14}{14} + \frac{4}{14} - \frac{7}{14}\right) = \frac{11}{14} ]

   • Учитывая, что ( \vec{q} ) сократился: [ \vec{KM} = \frac{11}{14} \vec{p} ]

Таким образом, вектор ( \vec{KM} ) выражается через векторы ( \vec{p} ) и ( \vec{q} ) как: [ \vec{KM} = \frac{11}{14} \vec{p} ]

Вектор KM = 1/7 * (2p - 5q)