Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости. Точки E, F, M и K - середины отрезков AB, BC, CD и AD...

Начнем с доказательства того, что четырёхугольник EFMK является параллелограммом.

а) Доказательство, что EFMK - параллелограмм

Рассмотрим отрезки AB, BC, CD и AD, серединами которых являются точки E, F, M и K соответственно. Мы будем использовать свойства средних линий в треугольниках.

1. Треугольник ABC:

   • Точка E - середина отрезка AB.
   • Точка F - середина отрезка BC.
   • Отрезок EF - это средняя линия треугольника ABC. По свойству средней линии, EF параллелен и равен половине от AC.

2. Треугольник ABD:

   • Точка E - середина отрезка AB.
   • Точка K - середина отрезка AD.
   • Отрезок EK - это средняя линия треугольника ABD. По свойству средней линии, EK параллелен и равен половине от BD.

3. Треугольник BCD:

   • Точка F - середина отрезка BC.
   • Точка M - середина отрезка CD.
   • Отрезок FM - это средняя линия треугольника BCD. По свойству средней линии, FM параллелен и равен половине от BD.

4. Треугольник ACD:

   • Точка K - середина отрезка AD.
   • Точка M - середина отрезка CD.
   • Отрезок KM - это средняя линия треугольника ACD. По свойству средней линии, KM параллелен и равен половине от AC.

Теперь у нас есть:

• EF параллелен и равен половине от AC.
• FM параллелен и равен половине от BD.
• EK параллелен и равен половине от BD.
• KM параллелен и равен половине от AC.

Таким образом, мы видим, что противоположные стороны четырёхугольника EFMK параллельны и равны:

• EF = KM и EF параллелен KM.
• EK = FM и EK параллелен FM.

Следовательно, EFMK является параллелограммом.

б) Нахождение периметра EFMK

Теперь, когда мы знаем, что EFMK является параллелограммом, мы можем вычислить его периметр.

Поскольку:

• EF и KM равны половине от AC, то EF = KM = 6 см / 2 = 3 см.
• EK и FM равны половине от BD, то EK = FM = 8 см / 2 = 4 см.

Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: [ \text{Периметр} = 2 \times (EF + EK) = 2 \times (3 см + 4 см) = 2 \times 7 см = 14 см. ]

Таким образом, периметр параллелограмма EFMK равен 14 см.

а) Для доказательства того, что EFMK - параллелограмм, достаточно показать, что противоположные стороны параллельны и равны.

1. Сначала докажем, что EF || MK. Так как E и F - середины отрезка AB, то EF || AB. Аналогично, так как M и K - середины отрезка CD, то MK || CD. Так как AB и CD не лежат в одной плоскости, то EF и MK - тоже не лежат в одной плоскости, следовательно, EF || MK.

2. Далее докажем, что EF = MK. Поскольку E и F - середины отрезка AB, то EF = 1/2 AB. Аналогично, так как M и K - середины отрезка CD, то MK = 1/2 CD. Так как AB и CD не лежат в одной плоскости, то EF = MK.

Таким образом, EFMK - параллелограмм.

б) Поскольку EFMK - параллелограмм, то его периметр равен сумме длин его сторон.

EF = 1/2 AB = 1/2 6 = 3 см FM = 1/2 BC = 1/2 8 = 4 см MK = 1/2 CD = 1/2 6 = 3 см KE = 1/2 DA = 1/2 8 = 4 см

Периметр EFMK = EF + FM + MK + KE = 3 + 4 + 3 + 4 = 14 см

Ответ: периметр EFMK равен 14 см.

а) Для доказательства того, что EFMK - параллелограмм, можно воспользоваться теоремой Векторов, которая гласит: "Если точки E, F, M и K являются серединами сторон четырехугольника ABCD, то векторы EF и MK равны и противоположно направлены, а также векторы EM и FK равны и противоположно направлены".

б) Периметр EFMK равен сумме длин сторон EFMK. Так как EFMK - параллелограмм, то EK = MF и EM = FK. Также, EF = MK, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма.

Итак, периметр EFMK равен 2(EK + EM) = 2(MF + FK) = 2*(EF + MK). Подставим значения длин сторон: AC = 6 см, BD = 8 см. Тогда EK = MF = 4 см, EM = FK = 3 см, EF = MK = 5 см.

Таким образом, периметр EFMK равен 2*(5 + 5) = 20 см.