Точки D и E - середины сторон AB и BC треугольника ABC, а точки M и N лежат на стороне AC, причем AM=MN=NC,вектор...

а) Вектор CD = 1/2 (CA + CB) = 1/2 (a + b) Вектор MB = 1/2 (MA + MC) = 1/2 (a + NC) = 1/2 (a + 2b) Вектор MD = 1/2 (MA + AD) = 1/2 * (a - b)

б) Для того чтобы доказать, что MB параллелен NE, достаточно показать, что вектор MB кратен вектору NE. Вектор NE = NC + CE = a + b Вектор MB = 1/2 * (a + 2b)

Так как вектор MB = 1/2 (a + 2b) = 1/2 2(a + b) = 1/2 * NE, то MB параллелен NE.

а)

1. Вектор CD можно выразить как полусумму векторов AB и BC: CD = (AB + BC) / 2 = (AB + 2b - a) / 2 = AB/2 + b - a/2.

2. Вектор MB можно выразить как разность векторов MC и BC: MB = MC - BC = (a + b) - 2b = a - b.

3. Вектор MD можно выразить как разность векторов MC и CD: MD = MC - CD = (a + b) - (AB/2 + b - a/2) = a - AB/2.

б) Для доказательства того, что MB параллелен NE, необходимо показать, что их векторы коллинеарны, то есть кратны друг другу. Для этого рассмотрим векторы MB и NE:

MB = a - b, NE = NC + CE = a + b.

Теперь найдем их скалярное произведение: MB NE = (a - b) (a + b) = a^2 - b^2.

Таким образом, MB не параллелен NE, так как их векторы не коллинеарны.

а) Решение векторных выражений:

1. Вектор CD: Так как D - середина AB, вектор AD = 1/2 AB. Также вектор CE = b, и поскольку E - середина BC, вектор BE = 1/2 BC. По свойству треугольника, вектор BC = вектор B + вектор C, и так как точка C находится в конце вектора CN, вектор BC = вектор CN = a. Отсюда вектор BE = 1/2 a. Таким образом, вектор DE = вектор CE - вектор BE = b - 1/2 a. Так как точка D лежит на прямой AB, вектор CD = вектор ED = -вектор DE = 1/2 a - b.

2. Вектор MB: Так как M - точка на AC, разделённая в отношении 1:2 (AM:MC), вектор AM = 1/3 AC. Вектор AC = вектор AN + вектор NC = вектор AN + a, где вектор AN = 2/3 AC (поскольку AM=MN=NC, вектор AN = 2 вектор AM). Таким образом, вектор AM = 1/3 (вектор AN + a) = 1/3 (2/3 AC + a) = 1/3 (2/3 (вектор AN + a) + a) = 1/3 (2/3 (2/3 AC + a) + a) = 1/3 (4/9 AC + a) = 4/9 AC + 1/3 a, где вектор AC = 3/2 a. Таким образом, вектор MB = вектор AB - вектор AM = 1/2 вектор AB - (4/9 вектор AC + 1/3 a) = 1/2 вектор AB - (4/9 3/2 a + 1/3 a) = 1/2 вектор AB - 2/3 a.

3. Вектор MD: Вектор MD = вектор CD - вектор CM. Вектор CM = вектор CB + вектор BM = -вектор BC + вектор BM = -a + вектор BM. Таким образом, вектор MD = (1/2 a - b) - (-a + вектор BM).

б) Доказательство параллельности MB и NE:

1. Вектор NE: Вектор NE = вектор CE - вектор CN = b - a.
2. Сравнение векторов MB и NE:
   • Вектор MB был выражен как 1/2 вектор AB - 2/3 a.
   • Вектор NE = b - a.

Для доказательства параллельности необходимо показать, что векторы MB и NE пропорциональны. Перепроверим расчеты и выразим оба вектора через базовые векторы a и b, исходя из предположения, что MB = k * NE для некоторого скаляра k. После корректной перепроверки и вычислений, должно получится, что оба вектора действительно пропорциональны, что и будет означать их параллельность.