Точки М и N середины противоположных сторон BС и AD,параллелограмма ABCD.Докажите что четурехугольник...

Чтобы доказать, что четырехугольник AMCN является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны попарно параллельны и равны. Рассмотрим параллелограмм ABCD, где точки M и N — середины сторон BC и AD соответственно.

1. Свойства параллелограмма: В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, то есть: [ AB \parallel CD \quad \text{и} \quad AD \parallel BC ] [ AB = CD \quad \text{и} \quad AD = BC ]

2. Точки M и N: Поскольку M и N являются серединами сторон BC и AD, соответственно, мы можем записать: [ BM = MC = \frac{1}{2}BC \quad \text{и} \quad AN = ND = \frac{1}{2}AD ]

3. Стороны AM и CN: Рассмотрим отрезки AM и CN. По свойству средней линии (в данном случае, отрезок, соединяющий середины двух сторон), в треугольнике они будут параллельны и равны половине третьей стороны. Поскольку M и N середины сторон BC и AD, отрезок MN является средней линией в треугольниках ABD и BCD.

4. Параллельность и равенство AM и CN:

   • В треугольнике ABD, отрезок MN является средней линией, следовательно: [ MN \parallel AB \quad \text{и} \quad MN = \frac{1}{2}AB ]
   • В треугольнике BCD, отрезок MN также является средней линией, следовательно: [ MN \parallel CD \quad \text{и} \quad MN = \frac{1}{2}CD ]

   Поскольку AB = CD в параллелограмме, то: [ AM \parallel CN \quad \text{и} \quad AM = CN ]

5. Стороны AC и MN:

   • Поскольку M и N середины сторон BC и AD, соответственно, отрезок MN также будет параллелен и равен половине стороны AC: [ AC \parallel MN \quad \text{и} \quad AC = 2 \cdot MN ]

6. Заключение: Таким образом, противоположные стороны AM и CN равны и параллельны, как и противоположные стороны AC и MN. Следовательно, четырехугольник AMCN имеет обе пары противоположных сторон параллельными и равными, что по определению делает его параллелограммом.

Таким образом, доказано, что четырехугольник AMCN является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырехугольник AMCN является параллелограммом, нам нужно показать, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны и равны.

Итак, так как точки M и N являются серединами сторон BC и AD соответственно, то по определению середины отрезка, AM = MC и AN = ND.

Теперь рассмотрим треугольники AMN и CND. Поскольку AM = MC и AN = ND, то у этих треугольников равны две стороны и один угол (угол MAN = угол NCD), что по признаку равенства треугольников означает, что эти треугольники равнобедренные.

Следовательно, у этих треугольников равны углы AMN и NCD, и значит, AM || CD.

Аналогично, рассматривая треугольники BMN и ANC, мы можем показать, что BN || AC.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны четырехугольника AMCN параллельны, что и означает, что он является параллелограммом.