Треугольник ABC=120 градусам из точки A проведен перпендикуляр AM к прямой BC . Найдите BM если AB=18см.

Давайте обозначим некоторые элементы треугольника ABC и используем свойства треугольников и прямоугольных треугольников для решения задачи.

1. Определим элементы треугольника:

   • Пусть угол ( \angle ABC = 120^\circ ).
   • ( AB = 18 ) см.
   • Перпендикуляр ( AM ) опущен из точки ( A ) на прямую ( BC ).

2. Свойства треугольника: У нас есть треугольник ( ABM ), где ( AM ) – высота, и ( \angle BAM ) – это угол между стороной ( AB ) и высотой ( AM ).

3. Рассмотрим треугольник ABC: В этом треугольнике ( \angle ABC = 120^\circ ). Соответственно, углы ( \angle ACB ) и ( \angle CAB ) в сумме должны составлять ( 60^\circ ). Однако, для решения задачи нам нужно сосредоточиться на треугольнике ( ABM ).

4. Определим угол BAM: Угол ( \angle BAM = 90^\circ - \angle ABC/2 = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ ).

5. Используем тригонометрию: В треугольнике ( ABM ) у нас есть:

   • ( AB = 18 ) см (гипотенуза),
   • угол ( \angle BAM = 30^\circ ).

   Мы можем найти длину ( AM ) (высоту) и ( BM ) (основание):

   • Для нахождения ( AM ): [ AM = AB \cdot \sin(30^\circ) = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \text{ см}. ]

   • Для нахождения ( BM ): [ BM = AB \cdot \cos(30^\circ) = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \text{ см}. ]

Таким образом, длина отрезка ( BM ) составляет ( 9\sqrt{3} ) см, что приблизительно равно ( 15.59 ) см.

Ответ: ( BM = 9\sqrt{3} ) см или приблизительно ( 15.59 ) см.

Давайте разберем задачу подробно.

Дано:

1. Треугольник ( \triangle ABC ), угол ( \angle BAC = 120^\circ ).
2. Точка ( M ) — основание перпендикуляра ( AM ), проведенного из вершины ( A ) на сторону ( BC ) (( AM \perp BC )).
3. Длина стороны ( AB = 18 \, \text{см} ).
4. Требуется найти ( BM ), то есть часть стороны ( BC ) от точки ( B ) до точки пересечения ( M ) перпендикуляра ( AM ).

Решение:

1. Тригонометрия углов в треугольнике:

   В треугольнике ( \triangle ABC ) угол ( \angle BAC = 120^\circ ). Мы знаем, что треугольник разбивается на два прямоугольных треугольника ( \triangle ABM ) и ( \triangle ACM ) с помощью высоты ( AM ), так как ( AM \perp BC ).

   В треугольнике ( \triangle ABM ):

   • ( \angle BAM = 60^\circ ), так как ( \angle BAC = 120^\circ ), а ( AM ) делит угол пополам.
   • ( \angle ABM = 90^\circ ), так как ( AM \perp BC ).

   Следовательно, ( \triangle ABM ) — прямоугольный треугольник, где известна гипотенуза ( AB = 18 \, \text{см} ) и угол ( \angle BAM = 60^\circ ).

2. Используем тригонометрические функции:

   Для нахождения ( BM ), воспользуемся косинусом угла ( \angle BAM ): [ \cos \angle BAM = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BM}{AB}. ]

   Подставляем известные значения: [ \cos 60^\circ = \frac{BM}{18}. ]

   Зная, что ( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} ), получаем: [ \frac{1}{2} = \frac{BM}{18}. ]

   Решаем уравнение для ( BM ): [ BM = 18 \cdot \frac{1}{2} = 9 \, \text{см}. ]

Ответ:

Длина ( BM = 9 \, \text{см} ).