Треугольник ABC прямоугольный, угол C=90,угол A=30, AC=a, DC перпендикулярна к плоскости ABC,DC=а*√3/2...

Угол между плоскостью (ADB) и плоскостью (ACB) равен 30 градусов. Это связано с тем, что угол A в треугольнике ABC равен 30 градусов, и плоскость (ACB) является горизонтальной, тогда как плоскость (ADB) наклонена под углом A.

К сожалению, я не могу создать рисунок, но ты можешь представить треугольник ABC, где C — это вершина с прямым углом, A — вершина с углом 30 градусов и B — третья вершина. Линия DC перпендикулярна к плоскости ABC, и угол между плоскостями (ADB) и (ACB) будет равен углу A, т.е. 30 градусов.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник (ABC) с углом (C = 90^\circ) и углом (A = 30^\circ). Это означает, что угол (B) равен (60^\circ) (так как сумма углов в треугольнике равна (180^\circ)).

1. Определим стороны треугольника:

   • Поскольку (AC = a) и угол (A = 30^\circ), можем использовать соотношения в прямоугольном треугольнике, чтобы найти другие стороны:
     • (BC = AC \cdot \tan(A) = a \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}).
     • (AB = AC \cdot \frac{1}{\cos(A)} = a \cdot \frac{1}{\cos(30^\circ)} = a \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}).

2. Положение точки D:

   • Точка (D) находится на прямой, перпендикулярной к плоскости (ABC) и располагается на высоте (DC = \frac{a\sqrt{3}}{2}) над точкой (C).

3. Определим плоскости:

   • Плоскость (ACB) – это плоскость, в которой находятся точки (A), (C) и (B).
   • Плоскость (ADB) – это плоскость, в которой находятся точки (A), (D) и (B).

4. Угол между плоскостями:

   • Угол между двумя плоскостями определяется через угол между их нормальными векторами.
   • Найдем нормальные векторы для плоскостей (ACB) и (ADB).

5. Нормальный вектор плоскости (ACB):

   • Векторы: (\vec{AC} = (0, 0, 0) \to (0, 0, a) = (0, 0, a)) (\vec{AB} = (0, 0, 0) \to \left(\frac{2a}{\sqrt{3}}, 0, 0\right) = \left(\frac{2a}{\sqrt{3}}, 0, 0\right))
   • Нормальный вектор (\vec{n_1}) к плоскости (ACB) можно найти по векторному произведению: [ \vec{n_1} = \vec{AC} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 0 & 0 & a \ \frac{2a}{\sqrt{3}} & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0, -\frac{2a^2}{\sqrt{3}}, 0) = \left(0, -\frac{2a^2}{\sqrt{3}}, 0\right) ]

6. Нормальный вектор плоскости (ADB):

   • Векторы: (\vec{AD} = (0, 0, 0) \to \left(0, 0, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)) (\vec{AB} = \left(\frac{2a}{\sqrt{3}}, 0, 0\right))
   • Нормальный вектор (\vec{n_2}) к плоскости (ADB): [ \vec{n_2} = \vec{AD} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 0 & 0 & \frac{a\sqrt{3}}{2} \ \frac{2a}{\sqrt{3}} & 0 & 0 \end{vmatrix} = \left(0, -\frac{a\sqrt{3} \cdot 2a}{2\sqrt{3}}, 0\right) = \left(0, -a^2, 0\right) ]

7. Вычисление угла между нормальными векторами:

   • Используем формулу: [ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} ]
   • Подсчитаем скалярное произведение и длины векторов: [ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = \left(0, -\frac{2a^2}{\sqrt{3}}, 0\right) \cdot \left(0, -a^2, 0\right) = \frac{2a^4}{\sqrt{3}} ] [ |\vec{n_1}| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{2a^2}{\sqrt{3}}\right)^2 + 0^2} = \frac{2a^2}{\sqrt{3}}, \quad |\vec{n_2}| = \sqrt{0^2 + (-a^2)^2 + 0^2} = a^2 ] [ \cos(\theta) = \frac{\frac{2a^4}{\sqrt{3}}}{\frac{2a^2}{\sqrt{3}} \cdot a^2} = 1 ]

Таким образом, угол между плоскостью (ADB) и плоскостью (ACB) равен (0^\circ) (плоскости совпадают).

К сожалению, я не могу предоставить рисунок, но вы можете представить треугольник (ABC) на плоскости, а точку (D) как точку, поднимающуюся вверх перпендикулярно к этой плоскости.

Давайте разберём задачу шаг за шагом:

Условие:

1. Дано:
   • Прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ), где ( \angle C = 90^\circ ), ( \angle A = 30^\circ ), и ( AC = a ).
   • ( DC ) — это отрезок, перпендикулярный плоскости ( \triangle ABC ), причем ( DC = \frac{a\sqrt{3}}{2} ).
2. Требуется найти угол между плоскостью ( (ADB) ) и плоскостью ( (ACB) ).

Решение:

Шаг 1: Найдём стороны треугольника ( \triangle ABC )

• Так как ( \triangle ABC ) прямоугольный, и ( \angle A = 30^\circ ), то из свойств треугольников с углом ( 30^\circ ) и ( 60^\circ ) следует: [ BC = 2 \cdot AC = 2a. ]
• Гипотенуза ( AB ) найдётся по теореме Пифагора: [ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}. ]

Шаг 2: Уравнение плоскости ( (ACB) )

Пусть ( A(0, 0, 0) ), ( C(a, 0, 0) ), ( B(0, 2a, 0) ). Тогда плоскость ( (ACB) ) лежит в плоскости ( z = 0 ), так как все заданные точки имеют ( z = 0 ).

Шаг 3: Определим точку ( D )

Точка ( D ) расположена на перпендикуляре ( DC ) к плоскости ( (ACB) ), причём ( DC = \frac{a\sqrt{3}}{2} ). Поскольку ( C(a, 0, 0) ), то координаты точки ( D ): [ D(a, 0, \frac{a\sqrt{3}}{2}). ]

Шаг 4: Уравнение плоскости ( (ADB) )

Точки ( A(0, 0, 0) ), ( D(a, 0, \frac{a\sqrt{3}}{2}) ), и ( B(0, 2a, 0) ) определяют плоскость ( (ADB) ).

Чтобы найти уравнение этой плоскости, используем векторное произведение. Составим два вектора, лежащих в плоскости: [ \vec{AD} = (a, 0, \frac{a\sqrt{3}}{2}), ] [ \vec{AB} = (0, 2a, 0). ] Вычислим их векторное произведение ( \vec{n}{ADB} = \vec{AD} \times \vec{AB} ), чтобы найти нормальный вектор к плоскости ( (ADB) ): [ \vec{n}{ADB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ a & 0 & \frac{a\sqrt{3}}{2} \ 0 & 2a & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 0 & \frac{a\sqrt{3}}{2} \ 2a & 0 \end{vmatrix}

• \mathbf{j} \begin{vmatrix} a & \frac{a\sqrt{3}}{2} \ 0 & 0 \end{vmatrix}
  • \mathbf{k} \begin{vmatrix} a & 0 \ 0 & 2a \end{vmatrix}. ] Вычисляем определители: [ \vec{n}{ADB} = \mathbf{i} \cdot (-a\sqrt{3}) - \mathbf{j} \cdot 0 + \mathbf{k} \cdot (2a^2). ] Получаем: [ \vec{n}{ADB} = (-a\sqrt{3})\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + (2a^2)\mathbf{k}. ]

Таким образом, нормальный вектор к плоскости ( (ADB) ): [ \vec{n}_{ADB} = (-a\sqrt{3}, 0, 2a^2). ]

Шаг 5: Нормальный вектор к плоскости ( (ACB) )

Плоскость ( (ACB) ) лежит в плоскости ( z = 0 ), и её нормальный вектор равен: [ \vec{n}_{ACB} = (0, 0, 1). ]

Шаг 6: Угол между плоскостями

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Косинус угла между векторами ( \vec{n}{ADB} ) и ( \vec{n}{ACB} ) вычисляется по формуле: [ \cos\phi = \frac{|\vec{n}{ADB} \cdot \vec{n}{ACB}|}{|\vec{n}{ADB}| \cdot |\vec{n}{ACB}|}. ]

Скалярное произведение ( \vec{n}{ADB} \cdot \vec{n}{ACB} ): [ \vec{n}{ADB} \cdot \vec{n}{ACB} = (-a\sqrt{3}) \cdot 0 + 0 \cdot 0 + (2a^2) \cdot 1 = 2a^2. ]

Модуль ( |\vec{n}{ADB}| ): [ |\vec{n}{ADB}| = \sqrt{(-a\sqrt{3})^2 + 0^2 + (2a^2)^2} = \sqrt{3a^2 + 4a^4}. ]

Модуль ( |\vec{n}{ACB}| ): [ |\vec{n}{ACB}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1. ]

Подставляем в формулу: [ \cos\phi = \frac{2a^2}{\sqrt{3a^2 + 4a^4} \cdot 1}. ]

Сокращаем: [ \cos\phi = \frac{2a^2}{a\sqrt{4a^2 + 3}} = \frac{2a}{\sqrt{4a^2 + 3}}. ]

Шаг 7: Угол ( \phi )

Теперь найдём сам угол ( \phi ): [ \phi = \arccos\left(\frac{2a}{\sqrt{4a^2 + 3}}\right). ]

К сожалению, я не могу предоставить рисунок, так как текстовый интерфейс не позволяет создать графические изображения. Однако вы можете построить рисунок, следуя описанным шагам — изобразите треугольник ( \triangle ABC ), затем добавьте перпендикуляр ( DC ) и плоскость ( (ADB) ).