Треугольнике abc ab 14 bc 13 ac 15 найдите высота, проведенную к АС косинус А синус В тангенс С радиус...

Для решения задачи, связанной с треугольником $\mathrm{△}ABC$, где $AB=14$, $BC=13$ и $AC=15$, нам необходимо найти несколько геометрических величин. Давайте разберём каждый вопрос по отдельности.

1. Высота, проведенная к $AC$

Чтобы найти высоту, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$, мы сначала используем формулу Герона для нахождения площади треугольника:

$s=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{14+13+15}{2}=21$

Площадь треугольника:

$K=\sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-AC)}=\sqrt{21\times (21-14)\times (21-13)\times (21-15)}$

$=\sqrt{21\times 7\times 8\times 6}=\sqrt{7056}=84$

Высота $h$ из вершины $B$ к стороне $AC$:

$h=\frac{2K}{AC}=\frac{2\times 84}{15}=\frac{168}{15}=11.2$

2. Косинус угла $A$

Используем теорему косинусов:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{13}^2+{15}^2-{14}^2}{2\times 13\times 15}$

$=\frac{169+225-196}{390}=\frac{198}{390}=\frac{33}{65}$

3. Синус угла $B$

Синус угла можно найти через площадь:

$\sin B=\frac{2K}{ac}=\frac{2\times 84}{14\times 15}=\frac{168}{210}=\frac{4}{5}$

4. Тангенс угла $C$

Используем соотношение синуса и косинуса:

$\tan C=\frac{\sin C}{\cos C}$

Сначала найдём $\cos C$ и $\sin C$ через теорему косинусов и синусов, аналогично предыдущим:

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{{14}^2+{15}^2-{13}^2}{2\times 14\times 15}=\frac{225}{420}=\frac{15}{28}$

$\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-{\left(\frac{15}{28}\right)}^2}=\sqrt{\frac{784-225}{784}}=\sqrt{\frac{559}{784}}$

$=\frac{\sqrt{559}}{28}$

Теперь тангенс:

$\tan C=\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{\frac{\sqrt{559}}{28}}{\frac{15}{28}}=\frac{\sqrt{559}}{15}$

5. Радиус описанной окружности

$R=\frac{abc}{4K}=\frac{14\times 13\times 15}{4\times 84}=\frac{2730}{336}\approx 8.13$

6. Радиус вписанной окружности

$r=\frac{K}{s}=\frac{84}{21}=4$

7. Медиана, проведенная к $BC$

Формула для медианы:

$m_a=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}=\frac{\sqrt{2\times {13}^2+2\times {15}^2-{14}^2}}{2}$

$=\frac{\sqrt{2\times 169+2\times 225-196}}{2}=\frac{\sqrt{788}}{2}\approx 14.04$

8. Биссектриса, проведенная из вершины $C$

Формула для биссектрисы:

$l_c=\frac{2ab\cos \left(\frac{C}{2}\right)}{a+b}=\frac{2\times 14\times 15\times \cos \left(\frac{C}{2}\right)}{14+15}$

Для нахождения $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$) используем формулу:

$\cos \left(\frac{C}{2}\right)=\sqrt{\frac{1+\cos C}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{15}{28}}{2}}$

$=\sqrt{\frac{43}{56}}=\frac{\sqrt{43}}{\sqrt{56}}$

Теперь найдём биссектрису:

$l_c=\frac{2\times 14\times 15\times \frac{\sqrt{43}}{\sqrt{56}}}{29}=\frac{420\sqrt{43}}{29\sqrt{56}}$

Эти вычисления дают более точные значения, но для упрощения можно использовать калькулятор для конечных чисел.

Высота, проведенная к AC: 12 Косинус A: 5/15 = 1/3 Синус B: 12/13 Тангенс C: 12/5 = 2.4 Радиус описанной окружности: 7.5 Радиус вписанной окружности: 3 Медиана, проведенная к BC: 12 Биссектриса, проведенная из вершины C: 10

Для решения данной задачи, нам нужно воспользоваться формулами треугольника и тригонометрическими функциями.

1. Высота, проведенная к стороне AC: Высота проведенная к стороне AC равна 12 $т.к.треугольникявляетсяпрямоугольнымикатетыравны9и12,агипотенуза15$.

2. Косинус угла A: Косинус угла A равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то есть 9/15 = 0.6.

3. Синус угла B: Синус угла B равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть 9/15 = 0.6.

4. Тангенс угла C: Тангенс угла C равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, то есть 9/12 = 0.75.

5. Радиус описанной окружности: Радиус описанной окружности равен половине произведения сторон треугольника, деленного на площадь треугольника. В данном случае радиус описанной окружности равен 7.5.

6. Радиус вписанной окружности: Радиус вписанной окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр треугольника. В данном случае радиус вписанной окружности равен 2.5.

7. Медиана, проведенная к стороне BC: Медиана, проведенная к стороне BC, равна половине гипотенузы, то есть 7.5.

8. Биссектриса, проведенная из вершины C: Биссектриса, проведенная из вершины C, делит противолежащий угол пополам и равна отношению площади треугольника к основанию биссектрисы. В данном случае, биссектриса равна 8.