Треугольнике abc ab 14 bc 13 ac 15 найдите высота, проведенную к АС косинус А синус В тангенс С радиус...

Для решения задачи, связанной с треугольником ( \triangle ABC ), где ( AB = 14 ), ( BC = 13 ) и ( AC = 15 ), нам необходимо найти несколько геометрических величин. Давайте разберём каждый вопрос по отдельности.

1. Высота, проведенная к ( AC )

Чтобы найти высоту, проведенную из вершины ( B ) к стороне ( AC ), мы сначала используем формулу Герона для нахождения площади треугольника:

[ s = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{14 + 13 + 15}{2} = 21 ]

Площадь треугольника:

[ K = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - AC)} = \sqrt{21 \times (21 - 14) \times (21 - 13) \times (21 - 15)} ]

[ = \sqrt{21 \times 7 \times 8 \times 6} = \sqrt{7056} = 84 ]

Высота ( h ) из вершины ( B ) к стороне ( AC ):

[ h = \frac{2K}{AC} = \frac{2 \times 84}{15} = \frac{168}{15} = 11.2 ]

2. Косинус угла ( A )

Используем теорему косинусов:

[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{13^2 + 15^2 - 14^2}{2 \times 13 \times 15} ]

[ = \frac{169 + 225 - 196}{390} = \frac{198}{390} = \frac{33}{65} ]

3. Синус угла ( B )

Синус угла можно найти через площадь:

[ \sin B = \frac{2K}{ac} = \frac{2 \times 84}{14 \times 15} = \frac{168}{210} = \frac{4}{5} ]

4. Тангенс угла ( C )

Используем соотношение синуса и косинуса:

[ \tan C = \frac{\sin C}{\cos C} ]

Сначала найдём ( \cos C ) и ( \sin C ) через теорему косинусов и синусов, аналогично предыдущим:

[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{14^2 + 15^2 - 13^2}{2 \times 14 \times 15} = \frac{225}{420} = \frac{15}{28} ]

[ \sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \left(\frac{15}{28}\right)^2} = \sqrt{\frac{784 - 225}{784}} = \sqrt{\frac{559}{784}} ]

[ = \frac{\sqrt{559}}{28} ]

Теперь тангенс:

[ \tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{\frac{\sqrt{559}}{28}}{\frac{15}{28}} = \frac{\sqrt{559}}{15} ]

5. Радиус описанной окружности

[ R = \frac{abc}{4K} = \frac{14 \times 13 \times 15}{4 \times 84} = \frac{2730}{336} \approx 8.13 ]

6. Радиус вписанной окружности

[ r = \frac{K}{s} = \frac{84}{21} = 4 ]

7. Медиана, проведенная к ( BC )

Формула для медианы:

[ m_a = \frac{\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}}{2} = \frac{\sqrt{2 \times 13^2 + 2 \times 15^2 - 14^2}}{2} ]

[ = \frac{\sqrt{2 \times 169 + 2 \times 225 - 196}}{2} = \frac{\sqrt{788}}{2} \approx 14.04 ]

8. Биссектриса, проведенная из вершины ( C )

Формула для биссектрисы:

[ l_c = \frac{2ab \cos\left(\frac{C}{2}\right)}{a + b} = \frac{2 \times 14 \times 15 \times \cos\left(\frac{C}{2}\right)}{14 + 15} ]

Для нахождения (\cos\left(\frac{C}{2}\right)) используем формулу:

[ \cos\left(\frac{C}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos C}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{15}{28}}{2}} ]

[ = \sqrt{\frac{43}{56}} = \frac{\sqrt{43}}{\sqrt{56}} ]

Теперь найдём биссектрису:

[ l_c = \frac{2 \times 14 \times 15 \times \frac{\sqrt{43}}{\sqrt{56}}}{29} = \frac{420 \sqrt{43}}{29 \sqrt{56}} ]

Эти вычисления дают более точные значения, но для упрощения можно использовать калькулятор для конечных чисел.

Высота, проведенная к AC: 12 Косинус A: 5/15 = 1/3 Синус B: 12/13 Тангенс C: 12/5 = 2.4 Радиус описанной окружности: 7.5 Радиус вписанной окружности: 3 Медиана, проведенная к BC: 12 Биссектриса, проведенная из вершины C: 10

Для решения данной задачи, нам нужно воспользоваться формулами треугольника и тригонометрическими функциями.

1. Высота, проведенная к стороне AC: Высота проведенная к стороне AC равна 12 (т.к. треугольник является прямоугольным и катеты равны 9 и 12, а гипотенуза 15).

2. Косинус угла A: Косинус угла A равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то есть 9/15 = 0.6.

3. Синус угла B: Синус угла B равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, то есть 9/15 = 0.6.

4. Тангенс угла C: Тангенс угла C равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, то есть 9/12 = 0.75.

5. Радиус описанной окружности: Радиус описанной окружности равен половине произведения сторон треугольника, деленного на площадь треугольника. В данном случае радиус описанной окружности равен 7.5.

6. Радиус вписанной окружности: Радиус вписанной окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр треугольника. В данном случае радиус вписанной окружности равен 2.5.

7. Медиана, проведенная к стороне BC: Медиана, проведенная к стороне BC, равна половине гипотенузы, то есть 7.5.

8. Биссектриса, проведенная из вершины C: Биссектриса, проведенная из вершины C, делит противолежащий угол пополам и равна отношению площади треугольника к основанию биссектрисы. В данном случае, биссектриса равна 8.