У равнобокой трапеции АВСD с основой АD , ВС=4 см , угол ВDС = 30 градусов , угол ВDА= 45 градусов ....

Для решения данной задачи нам нужно выразить радиус описанной окружности через стороны трапеции.

Радиус описанной окружности равнобокой трапеции можно найти по формуле: (R = \frac{ab}{2\sqrt{(a+b)(b-c)(a-c)}}), где (a) и (b) - основания трапеции, (c) - боковая сторона.

Из условия задачи имеем (a = AD = BC = 4) см, (ВDС = 30^\circ), (ВDА = 45^\circ). Так как трапеция равнобокая, то (CD = AB = 4) см.

Для нахождения боковой стороны трапеции, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника BCD: (CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2BC \cdot BD \cdot \cos(\angle BCD))

Подставляем известные значения: (4^2 = 4^2 + BD^2 - 2 \cdot 4 \cdot BD \cdot \cos(30^\circ)) (16 = 16 + BD^2 - 8BD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) (0 = BD^2 - 4\sqrt{3}BD + 8)

Далее решаем квадратное уравнение и находим боковую сторону трапеции: (BD = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}) (BD = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{48 - 32}}{2}) (BD = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{16}}{2}) (BD = \frac{4\sqrt{3} \pm 4}{2}) (BD = 2\sqrt{3} \pm 2)

Таким образом, боковая сторона трапеции (BD = 2\sqrt{3} \pm 2) см.

Подставляем найденное значение боковой стороны в формулу для радиуса описанной окружности и получаем ответ.

Для решения данной задачи сначала определим несколько ключевых моментов и используем свойства равнобокой трапеции и окружности, вписанной в неё.

Шаг 1: Определение свойств трапеции

1. Равнобокая трапеция - это трапеция, у которой боковые стороны равны.
2. У нас есть углы при основании AD: ∠BDC = 30° и ∠BDA = 45°.
3. Длина боковой стороны BC = 4 см.

Шаг 2: Используем свойства углов

В равнобокой трапеции углы при основаниях (AD и BC) равны:

• ∠BAD = ∠CDA (по 45°)
• ∠ABC = ∠BCD (по 30°)

Шаг 3: Определение длины боковой стороны

Используем треугольники ABD и BCD для нахождения боковой стороны.

Треугольник ABD

• В треугольнике ABD известны угол ∠BDA = 45° и боковая сторона BD.
• Продолжим AD до пересечения с окружностью, найдём центр окружности и радиус.

Треугольник BCD

• В треугольнике BCD известны угол ∠BDC = 30° и сторона BC = 4 см.

Шаг 4: Радиус описанной окружности

В трапеции можно вписать окружность, если сумма её противоположных сторон равна (AB + CD = AD + BC). Однако для равнобокой трапеции это не всегда верно, поэтому перейдём к более общим методам.

Шаг 5: Использование тригонометрии

Найдём длины сторон через тригонометрические функции:

1. В треугольнике ABD: [ BD = \frac{BC}{\sin(45°)} = \frac{4}{\sqrt{2}/2} = 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} ]

2. В треугольнике BCD: [ BD = \frac{BC}{\cos(30°)} = \frac{4}{\sqrt{3}/2} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} ]

Рассмотрим равенство длин BD: [ 4\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{3}}{3} ]

Шаг 6: Решение системы уравнений для нахождения радиуса

Используем формулу для радиуса описанной окружности окружности вокруг трапеции: [ R = \frac{a \cdot b \cdot c \cdot d}{4 \cdot S} ] где ( S ) - площадь трапеции.

В данном случае, воспользуемся специальными формулами для трапеции с углами 30° и 45°.

Итог:

• Боковая сторона трапеции: ( \sqrt{2} \cdot 4 = 4\sqrt{2} )
• Радиус окружности: через формулы и теоремы, с учетом углов, можно определить через ( R = \frac{a \cdot b \cdot c \cdot d}{4 \cdot S} )

Для детального ответа нужно провести интеграцию и специфичные вычисления для найденных углов и сторон.