Угол при вершине противолежащей основанию равнобедренного треугольника равен 150 боковая сторона треугольника...

Рассмотрим равнобедренный треугольник, в котором угол при вершине, противолежащей основанию, равен (150^\circ), а боковая сторона равна 34. Задача состоит в том, чтобы подробно рассмотреть свойства треугольника и, при необходимости, найти дополнительные характеристики.

Анализ задачи

1. Дано:

   • Угол при вершине, противолежащей основанию ( \angle A = 150^\circ ).
   • Боковая сторона треугольника ( AB = AC = 34 ).

2. Неизвестно:

   • Длина основания (BC).
   • Другие параметры треугольника (высота, площадь и т.д., если потребуется).

3. Свойства равнобедренного треугольника:

   • В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
   • Сумма углов треугольника равна (180^\circ).

Решение

Шаг 1. Найдем углы при основании

Обозначим углы при основании ( \angle B = \angle C = x ). Тогда, используя свойство суммы углов треугольника: [ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ. ] Подставим значения: [ 150^\circ + x + x = 180^\circ. ] [ 2x = 30^\circ, \quad x = 15^\circ. ] Таким образом, углы при основании равны ( \angle B = \angle C = 15^\circ ).

Шаг 2. Используем теорему косинусов для нахождения основания ( BC )

Теорема косинусов для стороны ( BC ) в треугольнике ( ABC ) имеет вид: [ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A). ] Так как ( AB = AC = 34 ), то: [ BC^2 = 34^2 + 34^2 - 2 \cdot 34 \cdot 34 \cdot \cos(150^\circ). ] Выразим каждое слагаемое:

• ( 34^2 = 1156 ),
• ( \cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ).

Подставим значения: [ BC^2 = 1156 + 1156 - 2 \cdot 34 \cdot 34 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right). ] [ BC^2 = 2312 + 2 \cdot 34 \cdot 34 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ] Упростим: [ BC^2 = 2312 + 34 \cdot 34 \cdot \sqrt{3}. ] [ BC^2 = 2312 + 1156\sqrt{3}. ]

Шаг 3. Вычислим длину ( BC )

[ BC = \sqrt{2312 + 1156\sqrt{3}}. ] Точное значение основания можно оставить в таком виде, если не требуется численное приближение. Если нужно приблизительное значение, подставим ( \sqrt{3} \approx 1.732 ): [ BC^2 \approx 2312 + 1156 \cdot 1.732. ] [ BC^2 \approx 2312 + 2000.992 = 4312.992. ] [ BC \approx \sqrt{4312.992} \approx 65.66. ]

Таким образом, длина основания ( BC ) приблизительно равна ( 65.66 ) (единицы измерения зависят от задачи).

Итог

1. Углы при основании равны (15^\circ).
2. Длина основания ( BC ) равна ( \sqrt{2312 + 1156\sqrt{3}} ) или приблизительно ( 65.66 ).

Для равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен 150°, то углы при основании равны по 15° каждый (180° - 150° = 30°, делим пополам).

Для нахождения длины основания используем закон косинусов:

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) ]

где ( a = b = 34 ) (боковые стороны), ( C = 150° ), и ( c ) – основание.

Подставляем значения:

[ c^2 = 34^2 + 34^2 - 2 \cdot 34 \cdot 34 \cdot \cos(150°) ]

[ \cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ]

Теперь подставляем:

[ c^2 = 34^2 + 34^2 + 34^2 \cdot \sqrt{3} ]

После вычислений получаем длину основания ( c ).

Для решения задачи начнем с определения характеристик равнобедренного треугольника, в котором угол при вершине противолежащей основанию равен 150 градусов, а боковые стороны равны 34.

1. Определение углов: В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Обозначим угол при вершине как ( A = 150^\circ ). Тогда углы при основании, обозначим их ( B ) и ( C ), можно найти по формуле: [ B + C + A = 180^\circ ] Так как ( B = C ), мы можем обозначить их как ( B ) и решить уравнение: [ 2B + 150^\circ = 180^\circ ] [ 2B = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ ] [ B = 15^\circ ]

   Таким образом, углы при основании равны ( 15^\circ ).

2. Нахождение длины основания: Обозначим основание треугольника как ( AB ), а боковые стороны как ( AC ) и ( BC ). Мы знаем, что ( AC = BC = 34 ).

   Чтобы найти длину основания ( AB ), применим закон косинусов. В треугольнике ( ABC ) закон косинусов выглядит следующим образом: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(A) ] Подставляем известные значения: [ AB^2 = 34^2 + 34^2 - 2 \cdot 34 \cdot 34 \cdot \cos(150^\circ) ] Так как ( \cos(150^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} ), подставим это значение: [ AB^2 = 34^2 + 34^2 - 2 \cdot 34 \cdot 34 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) ] [ AB^2 = 1156 + 1156 + 34 \cdot 34 \cdot \sqrt{3} ] [ AB^2 = 2312 + 1156\sqrt{3} ]

3. Нахождение длины основания: Теперь, чтобы найти ( AB ), просто возьмем корень из полученного выражения: [ AB = \sqrt{2312 + 1156\sqrt{3}} ]

4. Приблизительное значение: Если необходимо получить численное значение, можно подставить приближенное значение для ( \sqrt{3} ) (примерно 1.732): [ AB \approx \sqrt{2312 + 1156 \cdot 1.732} \approx \sqrt{2312 + 2001.392} \approx \sqrt{4313.392} \approx 65.7 ]

Таким образом, длина основания равнобедренного треугольника при заданных условиях составляет примерно 65.7 единиц.