Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны: 1) Если диагонали четырехугольника равны, то он прямоугольник. 2) Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он параллелограмм. 3) Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он ромб. 4) Диагонали прямоугольника являются биссектрисами его углов.
1) Неверно. Наличие равных диагоналей не обязательно делает четырехугольник прямоугольником. Пример: ромб. 2) Верно. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. 3) Неверно. Наличие перпендикулярных диагоналей не делает четырехугольник ромбом. Пример: квадрат. 4) Верно. Диагонали прямоугольника действительно являются биссектрисами его углов.
Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности:
1) Утверждение: Если диагонали четырехугольника равны, то он прямоугольник. Анализ: Это утверждение неверно. Равенство диагоналей четырехугольника не гарантирует, что он является прямоугольником. Например, ромб также имеет равные диагонали, но углы в ромбе не обязательно прямые. Таким образом, равенство диагоналей характерно для всех параллелограммов, включая ромбы и прямоугольники, но не определяет форму углов.
2) Утверждение: Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он параллелограмм. Анализ: Это утверждение верно. Одним из определений параллелограмма является то, что противоположные стороны попарно равны. Это свойство влечёт за собой также параллельность противоположных сторон, что является другим ключевым свойством параллелограмма.
3) Утверждение: Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он ромб. Анализ: Это утверждение неверно. Перпендикулярность диагоналей четырехугольника не обязательно означает, что четырехугольник является ромбом. Например, кайт (воздушный змей) также имеет перпендикулярные диагонали, но не является ромбом, так как его противоположные стороны не равны. Ромб определяется как параллелограмм с равными сторонами, и хотя у ромба диагонали перпендикулярны, перпендикулярность диагоналей сама по себе не гарантирует равенство всех сторон.
4) Утверждение: Диагонали прямоугольника являются биссектрисами его углов. Анализ: Это утверждение верно. В прямоугольнике, который является частным случаем параллелограмма, диагонали равны и действительно являются биссектрисами углов. Это свойство следует из того, что диагонали прямоугольника делят его углы пополам, создавая четыре равных прямоугольных треугольника.
Итак, верными утверждениями являются 2 и 4.
