В кубе ABCDA1B1C1D1 укажите плоскость параллельную плоскости A1BD

В кубе ABCDA1B1C1D1 плоскость A1BD образована тремя точками: A1 (верхняя передняя левая вершина), B (нижняя передняя правая вершина) и D (нижняя задняя левая вершина). Чтобы найти плоскость, параллельную плоскости A1BD, нам необходимо рассмотреть некоторые свойства параллельных плоскостей и определить, какие точки могут быть использованы для их задания.

Определение плоскости A1BD

1. Координаты вершин куба:

   • A(0, 0, 1)
   • B(1, 0, 1)
   • C(1, 1, 1)
   • D(0, 1, 1)
   • A1(0, 0, 0)
   • B1(1, 0, 0)
   • C1(1, 1, 0)
   • D1(0, 1, 0)

   Здесь предполагается, что куб имеет длину ребра 1. Вершины A, B, C, D находятся на верхней грани куба, а A1, B1, C1, D1 — на нижней грани.

2. Уравнение плоскости A1BD: Плоскость A1BD можно описать векторно. Векторы AB и AD можно использовать для определения нормали к плоскости. Математически,

   • Вектор A1B = B - A1 = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1)
   • Вектор A1D = D - A1 = (0, 1, 1) - (0, 0, 0) = (0, 1, 1)

   Нормальный вектор к плоскости A1BD можно получить с помощью векторного произведения: [ \vec{N} = \vec{A1B} \times \vec{A1D} ]

   Вычисляем векторное произведение: [ \vec{N} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \hat{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \hat{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = (-1, -1, 1) ]

   Уравнение плоскости в общем виде: [ -x - y + z = d, ] где d можно найти, подставив координаты одной из точек. Например, подставив A1(0, 0, 0): [ -0 - 0 + 0 = d \Rightarrow d = 0. ] Таким образом, уравнение плоскости A1BD: [ -x - y + z = 0. ]

Параллельная плоскость

Чтобы найти плоскость, параллельную A1BD, мы можем использовать то же уравнение, но с другим значением d. Например, если мы стремимся найти плоскость, проходящую через точку P(0, 0, d), тогда уравнение будет иметь вид: [ -x - y + z = d. ] Для d = k, где k — произвольное число, мы получаем множество плоскостей, параллельных A1BD.

Пример

Допустим, мы хотим найти плоскость, проходящую через точку (0, 0, 1): [ -x - y + z = 1. ] Это будет плоскость, параллельная плоскости A1BD и пересекающая ось Z в точке (0, 0, 1).

Таким образом, любые плоскости вида (-x - y + z = k) для произвольных k будут параллельны плоскости A1BD.

В кубе плоскость ( A_1BD ) проходит через вершины ( A_1 ), ( B ) и ( D ). Для начала определим, как эта плоскость располагается относительно куба.

Анализ положения плоскости ( A_1BD ):

1. Куб имеет 8 вершин: ( A, B, C, D ) (нижняя грань) и ( A_1, B_1, C_1, D_1 ) (верхняя грань).
2. Плоскость ( A_1BD ) содержит:
   • Точку ( A_1 ), которая лежит на верхней грани куба.
   • Точку ( B ), которая находится на нижней грани куба.
   • Точку ( D ), которая также находится на нижней грани куба.
3. Таким образом, эта плоскость пересекает куб по диагоналям и соединяет одну вершину верхней грани (( A_1 )) с двумя вершинами нижней грани (( B ) и ( D )).

Плоскость ( A_1BD ) наклонная, и она проходит через одну диагональ верхней грани (( A_1D_1 )), а также через точки ( B ) и ( D ) (часть нижней грани). Теперь нужно найти плоскость, параллельную ей.

Условие параллельности плоскостей:

Две плоскости параллельны, если они:

1. Не пересекаются.
2. Их нормальные векторы сонаправлены (или коллинеарны).

В кубе параллельные плоскости обычно расположены так, что их точки лежат на одинаковых взаимно параллельных диагоналях.

Параллельная плоскость:

Параллельной плоскостью к ( A_1BD ) будет плоскость, которая:

1. Также проходит через одну вершину верхней грани.
2. Содержит две вершины нижней грани, расположенные аналогично вершинам ( B ) и ( D ).

Соответствующей плоскостью будет плоскость ( C_1AC ), так как:

• ( C_1 ) лежит на верхней грани, аналогично ( A_1 ).
• ( A ) и ( C ) лежат на нижней грани, аналогично ( B ) и ( D ).

Таким образом, плоскость ( C_1AC ) параллельна плоскости ( A_1BD ).

Проверка:

1. Обе плоскости ( A_1BD ) и ( C_1AC ) наклонные.
2. Их нормальные векторы совпадают по направлению, так как плоскости проходят через аналогичные диагонали куба.
3. Они не пересекаются, так как содержат разные наборы точек.

Ответ:

Плоскость, параллельная плоскости ( A_1BD ), — это плоскость ( C_1AC ).