В кубе АВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми ВА1 и В1D1

Для нахождения угла между прямыми ВА1 и В1D1 в кубе АВСDA1B1C1D1 необходимо использовать геометрические свойства куба. Поскольку ВА1 и В1D1 являются диагоналями противоположных граней куба, они пересекаются в его центре. Таким образом, угол между прямыми ВА1 и В1D1 равен 90 градусов, поскольку центр куба является вершиной прямого угла между этими диагоналями.

Чтобы найти угол между прямыми (BA_1) и (B_1D_1) в кубе (ABCDEFGH) (где (A = A_1), (B = B_1), (C = C_1) и (D = D_1)), сначала нужно представить этот куб в трёхмерной координатной системе. Пусть вершина (A) куба находится в начале координат, то есть в точке ((0, 0, 0)), а длина ребра куба равна (a).

Тогда координаты остальных вершин будут:

• (B(0, a, 0))
• (C(a, a, 0))
• (D(a, 0, 0))
• (A_1(0, 0, a))
• (B_1(0, a, a))
• (C_1(a, a, a))
• (D_1(a, 0, a))

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым (BA_1) и (B_1D_1):

1. Вектор (\mathbf{BA_1}) (из (B) в (A_1)): [ \mathbf{BA_1} = A_1 - B = (0, 0, a) - (0, a, 0) = (0, -a, a) ]

2. Вектор (\mathbf{B_1D_1}) (из (B_1) в (D_1)): [ \mathbf{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (a, 0, a) - (0, a, a) = (a, -a, 0) ]

Теперь можем найти косинус угла (\theta) между этими векторами, используя скалярное произведение и длины векторов:

Скалярное произведение: [ \mathbf{BA_1} \cdot \mathbf{B_1D_1} = (0, -a, a) \cdot (a, -a, 0) = 0 \cdot a + (-a) \cdot (-a) + a \cdot 0 = a^2 ]

Длина вектора (\mathbf{BA_1}): [ |\mathbf{BA_1}| = \sqrt{0^2 + (-a)^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} ]

Длина вектора (\mathbf{B_1D_1}): [ |\mathbf{B_1D_1}| = \sqrt{a^2 + (-a)^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} ]

Косинус угла (\theta): [ \cos \theta = \frac{\mathbf{BA_1} \cdot \mathbf{B_1D_1}}{|\mathbf{BA_1}| \cdot |\mathbf{B_1D_1}|} = \frac{a^2}{(a\sqrt{2})(a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2} ]

Следовательно, угол (\theta) между прямыми (BA_1) и (B_1D_1) равен: [ \theta = \arccos \left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ ]

Таким образом, угол между прямыми (BA_1) и (B_1D_1) в кубе равен (60^\circ).

Угол между прямыми ВА1 и В1D1 в кубе равен 90 градусов.