В кубе АВСДА1В1С1Д1 точка Е лежит на ребре АА1, а точка К – на ребре АВ Точка пересечения прямой ЕК...

Посмотрим на рисунок:

      B1-----------C1
     /|           /|
    / |          / |
   /  |         /  |
  /   |        /   |
A1----|-------D1   |
 |    |       |    |
 |    B-------C    |
 |   /        |   /
 |  /         |  /
 | /          | /
A -----------D

Пусть точка F - точка пересечения прямой ЕК с плоскостью грани ВВ1С1С. Так как точка Е лежит на ребре АА1, а точка К – на ребре АВ, то прямая ЕК лежит в плоскости грани А1B1C1D1. Так как плоскость грани ВВ1С1С параллельна плоскости грани А1B1C1D1 (так как они обе перпендикулярны грани АBCD), то прямая ЕК также будет параллельна ребру B1C1.

Ответ: б) B1C1

Для решения задачи, давайте сначала уточним, где находятся ключевые точки и как они связаны друг с другом в кубе.

1. Определение точек:

   • Куб ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ) имеет вершины ( A, B, C, D ) на нижней грани и ( A_1, B_1, C_1, D_1 ) на верхней грани.
   • Точка ( E ) лежит на ребре ( AA_1 ). Пусть ( E ) делит ( AA_1 ) в отношении ( \lambda ) от ( A ) (где ( 0 < \lambda < 1 )).
   • Точка ( K ) лежит на ребре ( AB ). Пусть ( K ) делит ( AB ) в отношении ( \mu ) от ( A ) (где ( 0 < \mu < 1 )).

2. Координаты точек:

   • Если куб имеет сторону длиной ( a ), возьмем систему координат с началом в точке ( A ). Тогда координаты точек будут:
     • ( A (0,0,0) )
     • ( B (a,0,0) )
     • ( C (a,a,0) )
     • ( D (0,a,0) )
     • ( A_1 (0,0,a) )
     • ( B_1 (a,0,a) )
     • ( C_1 (a,a,a) )
     • ( D_1 (0,a,a) )
     • ( E (0,0,\lambda a) )
     • ( K (\mu a,0,0) )

3. Уравнение прямой ( EK ):

   • Прямая ( EK ) проходит через точки ( E ) и ( K ). Найдем параметрическое уравнение этой прямой.
   • Вектор ( \overrightarrow{EK} = (\mu a - 0, 0 - 0, 0 - \lambda a) = (\mu a, 0, -\lambda a) )
   • Параметрическое уравнение прямой ( EK ): [ \begin{cases} x = \mu a t \ y = 0 \ z = \lambda a (1 - t) \end{cases} ] где ( t ) — параметр.

4. Плоскость грани ( BB_1C_1C ):

   • Плоскость ( BB_1C_1C ) описывается уравнением ( x = a ).

5. Нахождение точки пересечения:

   • Подставим ( x = a ) в параметрические уравнения прямой ( EK ): [ a = \mu a t \implies t = \frac{1}{\mu} ]
   • Подставим ( t ) в другие уравнения: [ y = 0 \ z = \lambda a (1 - \frac{1}{\mu}) ]

6. Координаты точки пересечения:

   • Точка ( P ) пересечения прямой ( EK ) с плоскостью ( BB_1C_1C ) имеет координаты: [ P \left( a, 0, \lambda a \left( 1 - \frac{1}{\mu} \right) \right) ]

7. Рассмотрение прямой принадлежности:

   • Для плоскости ( BB_1C_1C ), точки на прямых:
     • ( BC ): ( y = x - a )
     • ( B_1C_1 ): ( y = x - a )
     • ( BB_1 ): ( y = 0, x = a )
   • Точка ( P ) лежит на прямой ( BB_1 ) так как ( y = 0 ) и ( x = a ).

Таким образом, точка пересечения прямой ( EK ) с плоскостью грани ( BB_1C_1C ) лежит на прямой ( BB_1 ).

Ответ: в) ( BB_1 )