В наклонной треугольной призме боковые рёбра содержат по 8 см; стороны перпендикулярного сечения относятся как 9:10:17, а его площадь равна 144 см2. Определить боковую поверхность этой призмы.
В наклонной треугольной призме боковые рёбра содержат по 8 см; стороны перпендикулярного сечения относятся как 9:10:17, а его площадь равна 144 см2. Определить боковую поверхность этой призмы.
Для решения задачи определим боковую поверхность наклонной треугольной призмы, исходя из условий.
Нужно найти площадь боковой поверхности призмы.
Стороны треугольника пропорциональны ( 9:10:17 ), значит, их можно представить как ( 9k ), ( 10k ) и ( 17k ). Учитывая, что это треугольник, проверим, является ли он прямоугольным.
Выражение для проверки: ( (9k)^2 + (10k)^2 = (17k)^2 ): [ (9k)^2 + (10k)^2 = 81k^2 + 100k^2 = 181k^2, ] [ (17k)^2 = 289k^2. ] Так как ( 181k^2 \neq 289k^2 ), треугольник не является прямоугольным.
Площадь треугольника в перпендикулярном сечении равна ( S_{\text{сечения}} = 144 \, \text{см}^2 ). Формула площади треугольника через стороны ( a ), ( b ), ( c ) и полупериметр ( p ) (по формуле Герона): [ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, ] где ( p = \frac{a + b + c}{2} ).
Для сторон ( a = 9k ), ( b = 10k ), ( c = 17k ): [ p = \frac{9k + 10k + 17k}{2} = 18k. ]
Подставляем в формулу Герона: [ S = \sqrt{18k(18k - 9k)(18k - 10k)(18k - 17k)} = \sqrt{18k \cdot 9k \cdot 8k \cdot 1k}. ] [ S = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1} \cdot k^2 = \sqrt{1296} \cdot k^2 = 36k^2. ]
Так как площадь ( S = 144 ), то: [ 36k^2 = 144, ] [ k^2 = \frac{144}{36} = 4, \quad k = \sqrt{4} = 2. ]
Таким образом, стороны треугольника равны: [ a = 9k = 9 \cdot 2 = 18 \, \text{см}, \quad b = 10k = 10 \cdot 2 = 20 \, \text{см}, \quad c = 17k = 17 \cdot 2 = 34 \, \text{см}. ]
Боковая поверхность любой призмы равна произведению периметра сечения на длину бокового ребра: [ S{\text{боковая}} = P{\text{сечения}} \cdot h, ] где ( P_{\text{сечения}} ) — периметр перпендикулярного сечения, а ( h = 8 \, \text{см} ) — длина бокового ребра.
Периметр сечения: [ P_{\text{сечения}} = a + b + c = 18 + 20 + 34 = 72 \, \text{см}. ]
Боковая поверхность: [ S{\text{боковая}} = P{\text{сечения}} \cdot h = 72 \cdot 8 = 576 \, \text{см}^2. ]
Площадь боковой поверхности наклонной треугольной призмы равна: [ \boxed{576 \, \text{см}^2}. ]
Для решения задачи о нахождении боковой поверхности наклонной треугольной призмы, давайте последовательно разберем все данные и шаги.
Данные из условия:
Нахождение сторон перпендикулярного сечения: Пусть стороны перпендикулярного сечения равны ( 9x ), ( 10x ) и ( 17x ). Тогда мы можем выразить площадь треугольника через его стороны по формуле Герона: [ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9x + 10x + 17x}{2} = 18x ] Здесь ( a = 9x ), ( b = 10x ), ( c = 17x ).
Площадь треугольника выражается как: [ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} ] Подставляя значения: [ S = \sqrt{18x(18x - 9x)(18x - 10x)(18x - 17x)} = \sqrt{18x \cdot 9x \cdot 8x \cdot x} = \sqrt{1296x^4} = 36x^2 ] Нам известно, что ( S = 144 ) см², тогда: [ 36x^2 = 144 ] Отсюда мы получаем: [ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 ]
Определение длин сторон: Теперь, подставим значение ( x ) в формулы для сторон: [ a = 9x = 18 \, \text{см}, \quad b = 10x = 20 \, \text{см}, \quad c = 17x = 34 \, \text{см} ]
Нахождение периметра основания: Периметр треугольника: [ P = a + b + c = 18 + 20 + 34 = 72 \, \text{см} ]
Нахождение боковой поверхности призмы: Боковая поверхность наклонной призмы рассчитывается по формуле: [ S{бок} = P \cdot h ] Подставляя известные значения: [ S{бок} = 72 \cdot 8 = 576 \, \text{см}^2 ]
Таким образом, боковая поверхность наклонной треугольной призмы равна ( 576 \, \text{см}^2 ).
