В некоторой стране 40 городов, причём каждый соединен с каждым дорогой. Какое наибольшее число дорог можно закрыть на ремонт так, чтобы из каждого города можно было проехать в каждый?
В некоторой стране 40 городов, причём каждый соединен с каждым дорогой. Какое наибольшее число дорог можно закрыть на ремонт так, чтобы из каждого города можно было проехать в каждый?
Для решения данной задачи необходимо воспользоваться теорией графов. Если каждый город соединен с каждым другим дорогой, то общее количество возможных дорог равно числу сочетаний из 2 элементов из 40 городов, что равно 40 * (40-1) / 2 = 780.
Чтобы из каждого города можно было проехать в каждый, необходимо, чтобы граф был полным, то есть каждая пара городов была соединена дорогой. При этом каждая дорога является двусторонней, поэтому если мы закрываем одну дорогу на ремонт, то это не влияет на возможность проезда между городами.
Таким образом, мы можем закрыть все дороги, кроме одной, и при этом из каждого города можно будет проехать в каждый. Следовательно, наибольшее число дорог, которые можно закрыть на ремонт, равно 779.
Чтобы из каждого города можно было проехать в каждый, нужно, чтобы граф был полносвязным. Для этого нужно закрыть (40-1) дорогу, то есть 39.
В этой задаче речь идет о полном графе, где каждый из 40 городов является вершиной, а каждая дорога — ребром графа. Полный граф с ( n ) вершинами содержит ( \frac{n(n-1)}{2} ) рёбер. В нашем случае, для 40 городов это:
[ \frac{40 \times 39}{2} = 780 ]
рёбер (дорог).
Нам необходимо найти наибольшее число дорог, которые можно закрыть, чтобы граф остался связным, то есть чтобы из любого города можно было добраться до любого другого города. В терминах теории графов, это значит, что граф должен остаться связным после удаления максимального числа рёбер.
Для этого полезно понять, что минимальное число рёбер, необходимое для поддержания связности графа с ( n ) вершинами, это ( n-1 ) рёбер (как в дереве, которое является минимально связным графом). Для 40 городов это будет 39 рёбер.
Следовательно, максимальное число рёбер, которые можно удалить, равно общему числу рёбер минус минимально необходимое число рёбер для поддержания связности:
[ 780 - 39 = 741 ]
Таким образом, можно закрыть на ремонт максимум 741 дорогу, оставив 39 дорог, что позволит сохранить связность графа, то есть возможность проезда из любого города в любой другой.
