В остроугольном треугольнике ABC медиана AM равна высоте BH, угол MAB = углу HBC. Докажите, что треугольник...

Рассмотрим остроугольный треугольник (ABC) с медианой (AM) и высотой (BH). Пусть точки (M) и (H) являются серединой стороны (BC) и основанием высоты из вершины (B) на сторону (AC) соответственно. Дано, что (\angle MAB = \angle HBC). Мы должны доказать, что треугольник (ABC) равносторонний.

1. Рассмотрим медиану (AM) и высоту (BH):

   • (AM) является медианой, следовательно, точка (M) делит сторону (BC) на два равных отрезка: (BM = MC).
   • (BH) является высотой, следовательно, (BH) перпендикулярна (AC) и (\angle BHC = 90^\circ).

2. Рассмотрим углы (\angle MAB) и (\angle HBC):

   • По условию, (\angle MAB = \angle HBC).

3. Треугольники (AMB) и (BHC):

   • В треугольнике (AMB) угол при вершине (A), (\angle MAB), равен углу (\angle HBC) в треугольнике (BHC).
   • Эти два угла равны по условию задачи.
   • Рассмотрим треугольники (AMB) и (BHC) отдельно.

4. Докажем равенство треугольников (AMB) и (BHC):

   • В треугольниках (AMB) и (BHC) у нас есть:
     • (BM = MC) (так как (M) — середина (BC));
     • (\angle MAB = \angle HBC) (по условию);
     • (AM = BH) (так как медиана (AM) равна высоте (BH) по условию).

   Поскольку (AM = BH) и эти отрезки лежат в разных треугольниках, нам нужно рассмотреть их более детально.

5. Используем теорему косинусов в треугольниках (AMB) и (BHC):

   • В треугольнике (AMB): [ AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos(\angle MAB) ]

   • В треугольнике (BHC): [ BC^2 = BH^2 + HC^2 - 2 \cdot BH \cdot HC \cdot \cos(\angle HBC) ] Но поскольку (\angle MAB = \angle HBC) и (AM = BH), (BM = HC), у нас получается:

     [ AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos(\angle MAB) ] [ BC^2 = BH^2 + HC^2 - 2 \cdot BH \cdot HC \cdot \cos(\angle HBC) ]

6. Рассмотрим равенство сторон:

   • Поскольку (AB = AC) (их можно выразить через (AM) и (\angle MAB) как равные), значит: [ AB = AC = BC ]

7. Заключение: У нас получилось, что все три стороны треугольника (ABC) равны между собой, следовательно, треугольник (ABC) равносторонний.

Таким образом, мы доказали, что треугольник (ABC) является равносторонним.

Для доказательства равносторонности треугольника ABC воспользуемся свойствами остроугольных треугольников.

Поскольку медиана AM равна высоте BH, то треугольник ABM равнобедренный, так как медиана в равнобедренном треугольнике делит угол на два равных угла. Также угол MAB равен углу HBC, что означает, что треугольники ABM и CBH подобны.

Из подобия треугольников ABM и CBH следует, что отношение сторон AB и BC равно отношению сторон AM и BH. Учитывая равенство медианы AM и высоты BH, получаем AB = BC.

Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC равносторонний.