В паралелепипеде АВСДА1В1С1Д1 лежит на ВВ1, причем ВМ:МВ1 = 3:4, а Р лежит на В1Д1, причем В1Р:РД1 =2:1....

Чтобы разложить вектор ( \vec{МР} ) по векторам ( \vec{ВА} ), ( \vec{ВС} ) и ( \vec{ВВ}_1 ), начнем с определения координат точек ( М ) и ( Р ).

1. Координаты точки ( М ): Точка ( М ) лежит на отрезке ( ВВ_1 ), причем ( ВМ : МВ_1 = 3 : 4 ). Это значит, что точка ( М ) делит отрезок ( ВВ_1 ) в отношении 3:4. Поскольку ( ВВ_1 ) – это ребро параллелепипеда, которое идет вдоль оси z, и если ( В ) имеет координаты ( (0, 0, 0) ) (начало координат), а ( В_1 ) имеет координаты ( (0, 0, h) ), то координаты точки ( М ) можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении.

   [ M = \left(0, 0, \frac{3}{3+4} \cdot h\right) = \left(0, 0, \frac{3}{7}h\right) ]

2. Координаты точки ( Р ): Точка ( Р ) лежит на отрезке ( В_1Д_1 ), причем ( В_1Р : РД_1 = 2 : 1 ). Здесь нужно учитывать, что ( В_1Д_1 ) – это верхнее горизонтальное ребро параллелепипеда, параллельное ( ВД ), и если ( В_1 ) имеет координаты ( (0, 0, h) ), а ( Д_1 ) имеет координаты ( (a, b, h) ), то координаты точки ( Р ) можно найти аналогично предыдущему случаю, используя формулу деления отрезка в данном отношении.

   [ Р = \left(\frac{2}{2+1}a, \frac{2}{2+1}b, h\right) = \left(\frac{2}{3}a, \frac{2}{3}b, h\right) ]

3. Вычисление вектора ( \vec{МР} ): Вектор ( \vec{МР} ) – это разность координат точек ( Р ) и ( М ).

   [ \vec{МР} = \left(\frac{2}{3}a - 0, \frac{2}{3}b - 0, h - \frac{3}{7}h\right) = \left(\frac{2}{3}a, \frac{2}{3}b, \frac{4}{7}h\right) ]

4. Разложение вектора ( \vec{МР} ) по векторам ( \vec{ВА} ), ( \vec{ВС} ) и ( \vec{ВВ}_1 ): Векторы ( \vec{ВА} ), ( \vec{ВС} ) и ( \vec{ВВ}_1 ) имеют координаты:

   • ( \vec{ВА} = (-a, 0, 0) )
   • ( \vec{ВС} = (0, b, 0) )
   • ( \vec{ВВ}_1 = (0, 0, h) )

   Нам нужно найти такие коэффициенты ( \alpha ), ( \beta ) и ( \gamma ), чтобы:

   [ \vec{МР} = \alpha \vec{ВА} + \beta \vec{ВС} + \gamma \vec{ВВ}_1 ]

   Это означает, что:

   [ \left(\frac{2}{3}a, \frac{2}{3}b, \frac{4}{7}h\right) = \alpha (-a, 0, 0) + \beta (0, b, 0) + \gamma (0, 0, h) ]

   Составим систему уравнений для коэффициентов:

   [ \begin{cases} \frac{2}{3}a = -\alpha a \ \frac{2}{3}b = \beta b \ \frac{4}{7}h = \gamma h \end{cases} ]

   Решаем эту систему:

   [ \begin{cases} \alpha = -\frac{2}{3} \ \beta = \frac{2}{3} \ \gamma = \frac{4}{7} \end{cases} ]

Таким образом, разложение вектора ( \vec{МР} ) по векторам ( \vec{ВА} ), ( \vec{ВС} ) и ( \vec{ВВ}_1 ) имеет вид:

[ \vec{МР} = -\frac{2}{3} \vec{ВА} + \frac{2}{3} \vec{ВС} + \frac{4}{7} \vec{ВВ}_1 ]

Для разложения вектора MR по векторам VA, VC и VV1 нам нужно представить вектор MR в виде суммы векторов, параллельных данным векторам.

1. Разложение вектора MR по вектору VA: Проведем отрезок MP, параллельный VA. Тогда вектор MR можно представить в виде суммы двух векторов: MV и VP. Так как VM: MV1 = 3:4, то можно сказать, что вектор MV = 3/7 VM и вектор VP = 4/7 VM. Таким образом, вектор MR = MV + VP = 3/7 VM + 4/7 VM = VM.

2. Разложение вектора MR по вектору VC: Аналогично предыдущему пункту, проведем отрезок MP1, параллельный VC. Тогда вектор MR можно представить в виде суммы двух векторов: MV1 и V1P1. Так как V1P: PD1 = 2:1, то можно сказать, что вектор MV1 = 2/3 V1P и вектор V1P1 = 1/3 V1P. Таким образом, вектор MR = MV1 + V1P1 = 2/3 V1P + 1/3 V1P = V1P = V1D1 = VC.

3. Разложение вектора MR по вектору VV1: Поскольку точки V и V1 являются противоположными вершинами параллелепипеда, то вектор VV1 = -VM. Таким образом, разложение вектора MR по вектору VV1 будет равно -VM.

Итак, разложение вектора MR по векторам VA, VC и VV1: MR = VM (по VA) + VC (по VC) - VM (по VV1) = VM + VC - VM = VC.

Таким образом, вектор MR можно разложить по векторам VA, VC и VV1 следующим образом: MR = VC.