В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, M-точка пересечения медиан треугольника BB1C. Разложите вектор AM по...

Чтобы разложить вектор $\overrightarrow{AM}$ в параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ по векторам $\overrightarrow{A{A}_1}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}$, $\overrightarrow{AD}=\mathbf{c}$, сначала найдем координаты точки $M$.

Точки $B$, $B_1$ и $C$ имеют следующие координаты:

• $B(1,0,0$ )
• $B_1(1,0,1$ )
• $C(1,1,0$ )

Чтобы найти координаты точки $M$ $центратяжеститреугольника(B{B}_{1}C$), воспользуемся формулой для центра тяжести треугольника: $M=\frac{B+B_1+C}{3}$

Подставим координаты: $M=\frac{(1,0,0)+(1,0,1)+(1,1,0)}{3}=\frac{(3,1,1)}{3}=(1,\frac{1}{3},\frac{1}{3})$

Теперь у нас есть координаты точки $A(0,0,0$ ) и точки $M(1,\frac{1}{3},\frac{1}{3}$ ). Вектор $\overrightarrow{AM}$ можно записать как: $\overrightarrow{AM}=M-A=(1,\frac{1}{3},\frac{1}{3})-(0,0,0)=(1,\frac{1}{3},\frac{1}{3})$

Теперь разложим вектор $\overrightarrow{AM}$ по векторам $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$: $\overrightarrow{AM}=k_1\mathbf{a}+k_2\mathbf{b}+k_3\mathbf{c}$

Где:

• $\mathbf{a}=(0,0,1$ )
• $\mathbf{b}=(1,0,0$ )
• $\mathbf{c}=(0,1,0$ )

Решая систему уравнений: $\{\begin{array}{l}{k}_1\cdot 0+k_2\cdot 1+k_3\cdot 0=1k_1\cdot 0+k_2\cdot 0+k_3\cdot 1=\frac{1}{3}{k}_1\cdot 1+k_2\cdot 0+k_3\cdot 0=\frac{1}{3}\end{array}$

Из первого уравнения получаем $k_2=1$.

Из второго уравнения $k_1=\frac{1}{3}$.

Из третьего уравнения $k_3=\frac{1}{3}$.

Таким образом, разложение вектора $\overrightarrow{AM}$ будет выглядеть так: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\mathbf{a}+1\mathbf{b}+\frac{1}{3}\mathbf{c}$

Рисунок, к сожалению, не могу предоставить, но вы можете изобразить параллелепипед с отмеченными точками $A,B,C,D,A_1,B_1,C_1,D_1$ и провести медианы для наглядности.

Для решения задачи о разложении вектора $\overrightarrow{AM}$ в параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с точкой $M$, являющейся точкой пересечения медиан треугольника $BB1C$, начнем с определения координат вершин параллелепипеда.

Определение координат вершин

Предположим, что вершины параллелепипеда имеют следующие координаты:

• $A(0,0,0$ )
• $B(a,0,0$ )
• $C(a,b,0$ )
• $D(0,b,0$ )
• $A1(0,0,c$ )
• $B1(a,0,c$ )
• $C1(a,b,c$ )
• $D1(0,b,c$ )

Поиск координат точки M

Точка $M$ — это точка пересечения медиан треугольника $BB1C$. Для нахождения координат $M$:

1. Найдем координаты середины стороны $BC$: $M_{BC}=(\frac{a+a}{2},\frac{0+b}{2},\frac{0+c}{2})=(a,\frac{b}{2},\frac{c}{2})$

2. Найдем координаты середины стороны $B1C$: $M_{B1C}=(\frac{a+a}{2},\frac{0+b}{2},\frac{c+c}{2})=(a,\frac{b}{2},c)$

3. Теперь найдем координаты точки $M$, которая является точкой пересечения медиан. Она будет находиться на линии, соединяющей $B$ и ( M{BC} ), а также $B1$ и ( M{B1C} ). Для этого используем формулу для медиан: $M=\frac{B+M_{BC}+C}{3}=\frac{(a,0,0)+(a,\frac{b}{2},0)+(a,b,0)}{3}=(a,\frac{b}{2}+\frac{b}{3},0)=(a,\frac{b}{2}+\frac{b}{3},0)$

4. В итоге, координаты точки $M$: $M=(a,\frac{b}{2}+\frac{b}{3},\frac{c}{2})=(a,\frac{5b}{6},\frac{c}{2})$

Вектор AM

Вектор $\overrightarrow{AM}$ можно представить как: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{M}-\overrightarrow{A}=(a,\frac{5b}{6},\frac{c}{2})-(0,0,0)=(a,\frac{5b}{6},\frac{c}{2})$

Разложение вектора AM

Теперь разложим вектор $\overrightarrow{AM}$ по векторам $\overrightarrow{AA1}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$, и $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}$.

1. Вектор $\overrightarrow{AA1}$ направлен вдоль оси $z$ и равен $(0,0,c$ ).
2. Вектор $\overrightarrow{AB}$ направлен вдоль оси $x$ и равен $(a,0,0$ ).
3. Вектор $\overrightarrow{AD}$ направлен вдоль оси $y$ и равен $(0,b,0$ ).

Теперь мы можем выразить $\overrightarrow{AM}$: $\overrightarrow{AM}=1\cdot \overrightarrow{AA1}+k_1\cdot \overrightarrow{AB}+k_2\cdot \overrightarrow{AD}$

Где:

• $k_1=1$ $коэффициентдля(\overrightarrow{b}$),
• $k_2=\frac{5}{6}$ $коэффициентдля(\overrightarrow{c}$),
• $k_3=\frac{1}{2}$ $коэффициентдля(\overrightarrow{a}$).

Таким образом, разложение вектора $\overrightarrow{AM}$ по векторам $\overrightarrow{AA1},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ будет иметь вид: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+1\cdot \overrightarrow{b}+\frac{5}{6}\overrightarrow{c}$

Рисунок

К сожалению, я не могу создать рисунок, но вы можете представить параллелепипед ABCDA1B1C1D1 с осями $x,y,z$, где точки $A,B,C,D$ находятся на нижней грани, а $A1,B1,C1,D1$ — на верхней. Точка $M$ будет находиться в центре треугольника, образованного $B,B1,C$.

Таким образом, мы разобрали параллелепипед, нашли точку пересечения медиан и разложили вектор $AM$ по заданным векторам.

Хорошо, разберем задачу подробно. К сожалению, текстовый формат не позволяет прикрепить рисунок, но я дам детальное описание, чтобы вы смогли представить геометрическую ситуацию или нарисовать сами.

Дано:

• В пространстве задан параллелепипед $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$, где точки $A,B,C,D$ — вершины нижней грани, а точки $A_1,B_1,C_1,D_1$ — вершины верхней грани.
• $M$ — точка пересечения медиан треугольника $B{B}_{1}C$.
• Векторы $A{A}_1=\mathbf{a}$, $AB=\mathbf{b}$, $AD=\mathbf{c}$.

Нужно разложить вектор $\mathbf{AM}$ по базису $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$.

Решение:

1. Координаты вершин через базисные векторы:

   • Точка $A$ — начало координат: $A=(0,0,0$ ).
   • $B$: $\mathbf{AB}=\mathbf{b}$, значит, $B=\mathbf{b}$.
   • $D$: $\mathbf{AD}=\mathbf{c}$, значит, $D=\mathbf{c}$.
   • $A_1$: ${\mathbf{AA}}_{\mathbf{1}}=\mathbf{a}$, значит, $A_1=\mathbf{a}$.
   • $B_1$: ${\mathbf{AB}}_{\mathbf{1}}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$, значит, $B_1=\mathbf{b}+\mathbf{a}$.
   • $C$: $\mathbf{AC}=\mathbf{b}+\mathbf{c}$, значит, $C=\mathbf{b}+\mathbf{c}$.
   • $C_1$: ${\mathbf{AC}}_{\mathbf{1}}=\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{a}$, значит, $C_1=\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{a}$.

2. Определение медиан треугольника $B{B}_{1}C$:

   • Вершины треугольника: $B$, $B_1$, $C$.

   • Сначала найдём середины сторон:

     • Середина стороны $B_{1}C$: $\text{Mid}(B_{1}C)=\frac{{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}+\mathbf{C}}{2}=\frac{(\mathbf{b}+\mathbf{a})+(\mathbf{b}+\mathbf{c})}{2}=\frac{2\mathbf{b}+\mathbf{a}+\mathbf{c}}{2}.$
     • Середина стороны $BC$: $\text{Mid}(BC)=\frac{\mathbf{B}+\mathbf{C}}{2}=\frac{\mathbf{b}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})}{2}=\frac{2\mathbf{b}+\mathbf{c}}{2}.$
     • Середина стороны $B{B}_1$: $\text{Mid}(B{B}_1)=\frac{\mathbf{B}+{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}{2}=\frac{\mathbf{b}+(\mathbf{b}+\mathbf{a})}{2}=\frac{2\mathbf{b}+\mathbf{a}}{2}.$

   • Медианы треугольника $B{B}_{1}C$ пересекаются в точке $M$, которая делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

3. Координаты точки $M$: Точка $M$ — это центр тяжести треугольника $B{B}_{1}C$. Её координаты находятся как среднее арифметическое всех вершин треугольника: $M=\frac{\mathbf{B}+{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}+\mathbf{C}}{3}.$ Подставим координаты: $M=\frac{\mathbf{b}+(\mathbf{b}+\mathbf{a})+(\mathbf{b}+\mathbf{c})}{3}=\frac{3\mathbf{b}+\mathbf{a}+\mathbf{c}}{3}.$ Значит: $M=\mathbf{b}+\frac{\mathbf{a}}{3}+\frac{\mathbf{c}}{3}.$

4. Вектор $\mathbf{AM}$: Вектор $\mathbf{AM}$ определяется как: $\mathbf{AM}=\mathbf{OM}-\mathbf{OA}.$ Так как $A=(0,0,0$ ), то $\mathbf{OA}=0$, поэтому $\mathbf{AM}=\mathbf{OM}$. Таким образом: $\mathbf{AM}=\mathbf{b}+\frac{\mathbf{a}}{3}+\frac{\mathbf{c}}{3}.$

5. Разложение по базису $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$: Вектор $\mathbf{AM}$ уже записан через базисные векторы $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$. Окончательно: $\mathbf{AM}=\frac{1}{3}\mathbf{a}+1\cdot \mathbf{b}+\frac{1}{3}\mathbf{c}.$

Ответ:

Вектор $\mathbf{AM}$ в разложении по векторам $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ имеет вид: $\mathbf{AM}=\frac{1}{3}\mathbf{a}+1\cdot \mathbf{b}+\frac{1}{3}\mathbf{c}.$

Если нарисовать, то точка $M$ лежит внутри треугольника $B{B}_{1}C$, ближе к серединным точкам медиан.