В параллелограмме ABCD биссектрисы углов A и C пересекают стороны BC и AD в точках M и K соответственно так, что AK=4 см, BM=6 см. Найдите периметр ABCD.
На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD взяты точки K и M соответственно. Отрезки BM и KD пересекаются в точке O; угол BOD=140 градусов, угол DKB=110, угол BMC=90 градусов. Найдите углы параллелограмма.
Для решения задачи мы рассмотрим два этапа: сначала найдем периметр параллелограмма ABCD, затем определим его углы.
Даны:
Поскольку биссектрисы углов (A) и (C) делят противоположные стороны параллелограмма пропорционально сторонам, можно использовать свойства биссектрис и параллелограммов.
Обозначим длины сторон параллелограмма следующим образом:
Согласно теореме о биссектрисе, можно записать: [ \frac{AK}{KD} = \frac{AB}{BD} ] и [ \frac{BM}{MC} = \frac{BA}{AC} ]
В параллелограмме стороны противоположны и равны, поэтому (AB = CD) и (AD = BC). С учетом этого, (AK) и (BM) делят стороны (AD) и (BC) пропорционально.
Подставим данные: [ AK = 4 \, \text{см}, \quad BM = 6 \, \text{см} ]
Так как (AK) и (BM) делят стороны параллелограмма пополам, можно заключить, что: [ AD = 2 \times 4 = 8 \, \text{см}, \quad BC = 2 \times 6 = 12 \, \text{см} ]
Периметр параллелограмма: [ P = 2(a + b) = 2(8 \, \text{см} + 12 \, \text{см}) = 2 \times 20 \, \text{см} = 40 \, \text{см} ]
Даны:
Для нахождения углов параллелограмма используем свойства углов и параллелограммов. Рассмотрим углы при точке пересечения (O).
В параллелограмме: [ \angle ABC = \angle CDA ] [ \angle BAD = \angle BCD ]
Зная, что ( \angle BOD = 140^\circ ), а ( \angle BMC = 90^\circ ), можно определить, что углы ( \angle BOD ) и ( \angle DKB ) дополняют друг друга до (360^\circ), так как они внутренние углы на прямой линии.
Поскольку: [ \angle BOD = 140^\circ ] [ \angle DKB = 110^\circ ] [ \angle BMC = 90^\circ ]
Используем сумму углов в четырёхугольнике: [ \angle DKB + \angle BMC + \angle BOD + \angle BOC = 360^\circ ]
Из этой суммы следует: [ 110^\circ + 90^\circ + 140^\circ + \angle BOC = 360^\circ ] [ 340^\circ + \angle BOC = 360^\circ ] [ \angle BOC = 20^\circ ]
Поскольку углы параллелограмма равны: [ \angle BAD = \angle BCD = 90^\circ ] [ \angle ABC = \angle CDA = 90^\circ ]
Итоговые углы параллелограмма: [ \angle A = \angle C = 70^\circ ] [ \angle B = \angle D = 110^\circ ]
Таким образом, углы параллелограмма ABCD равны (70^\circ) и (110^\circ).
Периметр параллелограмма ABCD равен 24 см.
Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства параллелограмма.
Из условия известно, что AK=4 см и BM=6 см. Также дано, что угол BMC=90 градусов. Таким образом, треугольник BMC является прямоугольным. Используя теорему Пифагора, можем найти длину стороны BC: BC = √(BM^2 + CM^2) = √(6^2 + 4^2) = √(36 + 16) = √52 = 2√13 см
Теперь рассмотрим треугольник ADK. Из условия известно, что угол DKA=110 градусов. Так как противоположные углы параллелограмма равны, то угол AKB=110 градусов. Таким образом, угол AKB также равен 110 градусам.
Теперь можем найти периметр параллелограмма ABCD: AB = DC = 2√13 см BC = AD = 2√13 см Периметр ABCD = 2(AB + BC) = 2(2√13 + 2√13) = 8√13 см
Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен 8√13 см.
