В параллелограмме ABCD на стороне BC отмечена точка P, так что, BP:PC=3:1. O - точка пересечения диагоналей....

Рассмотрим параллелограмм ABCD, где AB = x и AD = y. На стороне BC отмечена точка P, так что BP:PC = 3:1. O - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Шаг 1: Определение координат точки P

Пусть координаты точки B будут $0,0$, точки A - $x,0$, точки D - $0,y$, а точки C - $x,y$, так как AB = x и AD = y. Точка P делит отрезок BC в отношении 3:1, поэтому ее координаты можно выразить как:

$P=(\frac{3\cdot x+1\cdot x}{3+1},\frac{3\cdot y+1\cdot y}{3+1})=(\frac{4x}{4},\frac{4y}{4})=(x,y)$

Шаг 2: Определение координат точки O

Точка O - это точка пересечения диагоналей параллелограмма, и она делит каждую диагональ пополам. Поэтому координаты точки O можно найти как среднее арифметическое координат концов диагоналей.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, и координаты этой точки будут:

$O=(\frac{x+0}{2},\frac{0+y}{2})=(\frac{x}{2},\frac{y}{2})$

Шаг 3: Определение вектора AO

Вектор AO направлен от точки A к точке O. Координаты точки A - $x,0$, координаты точки O - $\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$). Поэтому вектор AO можно записать как:

$\overrightarrow{AO}=(\frac{x}{2}-x,\frac{y}{2}-0)=(-\frac{x}{2},\frac{y}{2})$

Шаг 4: Определение вектора PA

Вектор PA направлен от точки P к точке A. Координаты точки P - $(\frac{3x}{4},\frac{3y}{4}$), координаты точки A - $x,0$. Поэтому вектор PA можно записать как:

$\overrightarrow{PA}=(x-\frac{3x}{4},0-\frac{3y}{4})=(\frac{x}{4},-\frac{3y}{4})$

Итог

Вектора AO и PA через AB = x и AD = y записываются следующим образом:

$\overrightarrow{AO}=(-\frac{x}{2},\frac{y}{2})$ $\overrightarrow{PA}=(\frac{x}{4},-\frac{3y}{4})$

Вектор AO = $3x+y$/4, Вектор PA = $x-y$/4.

Для начала найдем вектор BP. Так как BP:PC=3:1, то можем записать BP = 3/4 BC. Найдем BC, зная что AB=x и AD=y. Так как ABCD - параллелограмм, то вектор AB = вектор DC и вектор AD = вектор BC. Следовательно, BC = AD = y. Таким образом, BP = 3/4 y.

Теперь найдем вектор AP. Вектор AP = вектор AB + вектор BP. Подставив значения, получим AP = x + 3/4 * y.

Наконец, найдем вектор AO. Так как O - точка пересечения диагоналей, то вектор AO = 1/2 $векторAC+векторBD$. По свойствам параллелограмма, вектор AC = вектор BD, следовательно, AO = 1/2 $векторAC+векторBD$ = 1/2 (2 AB) = AB = x.

Итак, мы выразили векторы AO и AP через данные стороны параллелограмма: AO = x и AP = x + 3/4 * y.