В параллелограмме ABCD на стороне BC отмечена точка P, так что, BP:PC=3:1. O - точка пересечения диагоналей....

Рассмотрим параллелограмм ABCD, где AB = x и AD = y. На стороне BC отмечена точка P, так что BP:PC = 3:1. O - точка пересечения диагоналей AC и BD.

Шаг 1: Определение координат точки P

Пусть координаты точки B будут (0, 0), точки A - (x, 0), точки D - (0, y), а точки C - (x, y), так как AB = x и AD = y. Точка P делит отрезок BC в отношении 3:1, поэтому ее координаты можно выразить как:

[ P = \left( \frac{3 \cdot x + 1 \cdot x}{3 + 1}, \frac{3 \cdot y + 1 \cdot y}{3 + 1} \right) = \left( \frac{4x}{4}, \frac{4y}{4} \right) = (x, y) ]

Шаг 2: Определение координат точки O

Точка O - это точка пересечения диагоналей параллелограмма, и она делит каждую диагональ пополам. Поэтому координаты точки O можно найти как среднее арифметическое координат концов диагоналей.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, и координаты этой точки будут:

[ O = \left( \frac{x + 0}{2}, \frac{0 + y}{2} \right) = \left( \frac{x}{2}, \frac{y}{2} \right) ]

Шаг 3: Определение вектора AO

Вектор AO направлен от точки A к точке O. Координаты точки A - (x, 0), координаты точки O - (\left( \frac{x}{2}, \frac{y}{2} \right)). Поэтому вектор AO можно записать как:

[ \overrightarrow{AO} = \left( \frac{x}{2} - x, \frac{y}{2} - 0 \right) = \left( -\frac{x}{2}, \frac{y}{2} \right) ]

Шаг 4: Определение вектора PA

Вектор PA направлен от точки P к точке A. Координаты точки P - (( \frac{3x}{4}, \frac{3y}{4} )), координаты точки A - (x, 0). Поэтому вектор PA можно записать как:

[ \overrightarrow{PA} = (x - \frac{3x}{4}, 0 - \frac{3y}{4}) = (\frac{x}{4}, -\frac{3y}{4}) ]

Итог

Вектора AO и PA через AB = x и AD = y записываются следующим образом:

[ \overrightarrow{AO} = \left( -\frac{x}{2}, \frac{y}{2} \right) ] [ \overrightarrow{PA} = \left( \frac{x}{4}, -\frac{3y}{4} \right) ]

Вектор AO = (3x + y)/4, Вектор PA = (x - y)/4.

Для начала найдем вектор BP. Так как BP:PC=3:1, то можем записать BP = 3/4 BC. Найдем BC, зная что AB=x и AD=y. Так как ABCD - параллелограмм, то вектор AB = вектор DC и вектор AD = вектор BC. Следовательно, BC = AD = y. Таким образом, BP = 3/4 y.

Теперь найдем вектор AP. Вектор AP = вектор AB + вектор BP. Подставив значения, получим AP = x + 3/4 * y.

Наконец, найдем вектор AO. Так как O - точка пересечения диагоналей, то вектор AO = 1/2 (вектор AC + вектор BD). По свойствам параллелограмма, вектор AC = вектор BD, следовательно, AO = 1/2 (вектор AC + вектор BD) = 1/2 (2 AB) = AB = x.

Итак, мы выразили векторы AO и AP через данные стороны параллелограмма: AO = x и AP = x + 3/4 * y.