В параллелограмме abcd угол a равен 120º Высота ak делит сторону cd в отношении 3 : 5, считая от вершины...

Для решения задачи начнем с анализа данных. У нас есть параллелограмм (ABCD) с углом (A = 120^\circ). Высота (AK) опущена из вершины (A) на сторону (CD) и делит сторону (CD) в отношении (3:5), считая от вершины (C) (то есть, (CK:KD = 3:5)). Периметр параллелограмма равен 108 см.

1. Обозначим стороны: Пусть (AB = CD = a) и (AD = BC = b). Поскольку периметр равен 108 см, то: [ 2(a + b) = 108 \implies a + b = 54. ]

2. Высота: Высота (AK) можно выразить через сторону (b) и угол (A): [ h = b \cdot \sin(120^\circ) = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

3. Деление стороны (CD): Обозначим длину отрезка (CK) как (x) и отрезка (KD) как (y). Из условия задачи: [ \frac{x}{y} = \frac{3}{5} \implies 5x = 3y \implies y = \frac{5}{3}x. ] Так как (x + y = a), то: [ x + \frac{5}{3}x = a \implies \frac{8}{3}x = a \implies x = \frac{3}{8}a, \quad y = \frac{5}{8}a. ]

4. Сторона (a): Высота (AK) также может быть выражена через длины отрезков (x) и (y): [ h = \frac{CK \cdot \tan(120^\circ)}{2} = \frac{\frac{3}{8}a \cdot (-\sqrt{3})}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{16}a. ]

   Однако, поскольку высота не может быть отрицательной, мы используем положительное значение и уже имеем выражение для (h): [ h = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}. ]

5. Уравнение высоты: Теперь, приравняем два выражения для высоты: [ b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{16}a. ] Упростим это выражение: [ b = \frac{3}{8}a. ]

6. Подставим в уравнение периметра: Подставляем (b) в уравнение (a + b = 54): [ a + \frac{3}{8}a = 54 \implies \frac{11}{8}a = 54 \implies a = \frac{54 \cdot 8}{11} = \frac{432}{11} \approx 39.27 \text{ см}. ] Теперь найдем (b): [ b = 54 - a = 54 - \frac{432}{11} = \frac{594 - 432}{11} = \frac{162}{11} \approx 14.73 \text{ см}. ]

7. Ответ: Таким образом, стороны параллелограмма (ABCD) составляют: [ a \approx 39.27 \text{ см}, \quad b \approx 14.73 \text{ см}. ] Чтобы уточнить, можно округлить до целых значений, если нужно, но это уже зависит от требований задачи.

Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

1. ( ABCD ) — параллелограмм.
2. Угол ( \angle A = 120^\circ ), следовательно, ( \angle C = 120^\circ ) (углы напротив равны в параллелограмме), а ( \angle B = \angle D = 60^\circ ) (смежные углы параллелограмма дополняют друг друга до ( 180^\circ )).
3. Высота ( AK ) делит сторону ( CD ) в отношении ( 3:5 ), считая от вершины тупого угла (то есть от ( C )).
4. Периметр параллелограмма ( P = 108 \, \text{см} ).

Требуется найти длины сторон параллелограмма.

Обозначения:

1. Пусть ( AB = CD = a ) — одна пара противоположных сторон.
2. Пусть ( AD = BC = b ) — другая пара противоположных сторон.
3. Из условия периметра имеем: [ 2a + 2b = 108 \quad \Rightarrow \quad a + b = 54. ]

Высота ( AK ):

Высота ( AK ) проведена из вершины ( A ) на сторону ( CD ), которая равна ( a ). По условию, ( AK ) делит ( CD ) в отношении ( 3:5 ), считая от вершины тупого угла ( C ). Это значит, что:

• отрезок ( CK = \frac{3}{3+5} \cdot a = \frac{3}{8}a ),
• отрезок ( KD = \frac{5}{8}a ).

Геометрические соотношения:

В треугольнике ( \triangle AKD ):

• ( \angle DAK = 120^\circ ) (так как угол ( \angle A = 120^\circ )),
• ( KD = \frac{5}{8}a ),
• ( AK ) — высота, проведенная к стороне ( CD = a ).

Находим высоту ( AK ), используя тригонометрию. Рассмотрим треугольник ( \triangle AKD ): [ AK = KD \cdot \sin(120^\circ). ] Подставляем: [ AK = \frac{5}{8}a \cdot \sin(120^\circ). ] Значение ( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ), значит: [ AK = \frac{5}{8}a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{16}a. ]

Связь между сторонами:

Площадь параллелограмма также может быть выражена через высоту ( AK ) и основание ( CD = a ). Площадь ( S ) параллелограмма равна: [ S = a \cdot AK. ] Подставляем высоту ( AK ): [ S = a \cdot \frac{5\sqrt{3}}{16}a = \frac{5\sqrt{3}}{16}a^2. ]

С другой стороны, площадь ( S ) можно выразить через другую пару сторон ( b ) и высоту, проведенную к стороне ( b ). Высота к стороне ( b ) в параллелограмме равна ( b \cdot \sin(60^\circ) ), где ( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} ). Тогда: [ S = b \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}ab. ]

Приравниваем два выражения для площади: [ \frac{5\sqrt{3}}{16}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{2}ab. ]

Сокращаем ( \sqrt{3} ) и умножаем на 16: [ 5a^2 = 8ab. ]

Сокращаем на ( a ) (предполагается, что ( a \neq 0 )): [ 5a = 8b. ]

Выразим ( b ) через ( a ): [ b = \frac{5}{8}a. ]

Периметр:

По условию, ( a + b = 54 ). Подставляем ( b = \frac{5}{8}a ): [ a + \frac{5}{8}a = 54. ]

Приводим к общему знаменателю: [ \frac{8}{8}a + \frac{5}{8}a = 54 \quad \Rightarrow \quad \frac{13}{8}a = 54. ]

Умножаем на 8: [ 13a = 432 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{432}{13} = 33,23\, \text{см}. ]

Теперь находим ( b ): [ b = \frac{5}{8}a = \frac{5}{8} \cdot 33,23 = 20,77 \, \text{см}. ]

Ответ:

Длины сторон параллелограмма: [ a \approx 33,23 \, \text{см}, \quad b \approx 20,77 \, \text{см}. ]