В параллелограмме MNKP диагональ МК равна 20см. Точки В и С - середины сторон NK и KP соответственно....

Параллелограмм MNKP

В параллелограмме MNKP диагональ МК равна 20 см. Точки В и С — середины сторон NK и KP соответственно. Отрезок ВС пересекает диагональ МК в точке Е. Необходимо найти длины отрезков МЕ и ЕК.

Решение:

1. Свойства параллелограмма:

   • В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
   • Серединные линии (отрезки, соединяющие середины противоположных сторон) параллелограмма также делят его на две равные части.

2. Диагональ МК:

   • Пусть точка пересечения диагоналей параллелограмма обозначена как O.
   • Тогда MO = OK, и MO = OK = 10 см (поскольку MК = 20 см, а точка O делит диагональ пополам).

3. Серединные точки и отрезок ВС:

   • Точки B и C — середины сторон NK и KP соответственно.
   • Отрезок ВС является серединной линией в параллелограмме MNKP.

4. Точка пересечения Е:

   • Отрезок ВС пересекает диагональ МК в точке Е.
   • Т.к. ВС — срединная линия, она делит диагональ МК в отношении 1:1, т.е. ME = EK.

5. Длины отрезков:

   • Поскольку точка O делит диагональ MК пополам, а точка Е также делит отрезок MO (или OK) пополам:
     • MO = 10 см, следовательно, ME = EO = 10/2 = 5 см.
     • EK = EO = 10/2 = 5 см.

Ответ: МЕ = 5 см, ЕК = 5 см.

Трапеция ABCD

В трапеции ABCD основания BC и AD равны 8 см и 12 см соответственно, диагональ АС равна 40 см и пересекает диагональ BD в точке O. Необходимо найти длины отрезков AO и CO, а также отношение площадей треугольников AOD и BOC.

Решение:

1. Свойства трапеции:

   • В любой трапеции диагонали пересекаются и делят друг друга на отрезки, которые пропорциональны основаниям трапеции.
   • Отношение отрезков, на которые диагонали делятся точкой пересечения, равно отношению длин оснований.

2. Отношение оснований:

   • Пусть основания BC и AD равны 8 см и 12 см соответственно.
   • Отношение оснований: BC/AD = 8/12 = 2/3.

3. Диагонали AC и BD:

   • Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
   • Отношение отрезков AO и OC, а также BO и OD равно отношению оснований BC и AD.
   • Следовательно, AO/OC = 2/3.

4. Длины отрезков:

   • Пусть AO = 2k и OC = 3k, тогда AC = AO + OC = 2k + 3k = 5k.
   • Из условия AC = 40 см, значит 5k = 40, отсюда k = 8.
   • Поэтому AO = 2k = 2*8 = 16 см.
   • OC = 3k = 3*8 = 24 см.

5. Площади треугольников AOD и BOC:

   • Отношение площадей треугольников с общей вершиной и основанием, пропорционально отношению длин оснований.
   • Площадь треугольника AOD к площади треугольника BOC также пропорционально отношению оснований AD к BC.
   • Отношение площадей: ( S{AOD} / S{BOC} = AD / BC = 12 / 8 = 3 / 2 ).

Ответ: AO = 16 см, CO = 24 см, отношение площадей треугольников AOD и BOC равно 3:2.

Для начала посмотрим на параллелограмм MNKP. Так как точки B и C являются серединами сторон NK и KP соответственно, то отрезок BC будет параллельным стороне MP и равен половине длины этой стороны, то есть 10 см. Теперь, так как отрезок BC является медианой треугольника MKP, то точка E будет являться его центром тяжести, а значит ME = 2/3 MK и EK = 2/3 KP. Так как МК = 20 см, то ME = 2/3 20 = 40/3 см, а EK = 2/3 20 = 40/3 см.

Теперь посмотрим на трапецию ABCD. Так как основания ВС и AD равны 8 и 12 см соответственно, то Высота трапеции равна 16 см (40 - 24 = 16). Теперь, так как диагональ AC является высотой, то она разделит треугольник AOD на два прямоугольных треугольника. Так как длина диагонали AC равна 40 см, то треугольник AOC будет равнобедренным, а значит ОА = OC = (16^2 + 8^2)^0.5 = (256 + 64)^0.5 = 20 см.

Также, так как точка О является точкой пересечения диагоналей трапеции, то треугольники AOD и BOC будут подобными. Площадь треугольника равна 1/2 основание высота, поэтому площадь треугольника AOD будет равна 1/2 12 16 = 96 см^2, а площадь треугольника BOC будет равна 1/2 8 16 = 64 см^2. Отношение площадей треугольников AOD и BOC будет равно 96/64 = 3/2.

МЕ = 10 см, ЕК = 10 см

AO = 16 см, CO = 24 см, площадь AOD : площадь BOC = 3 : 2