В пирамиде DABC ребро AD перпендикулярно основанию, AD=4 корня из 3, AB=2, угол ABC - прямой, угол BAC=60...

Рассмотрим пирамиду DABC, где ребро AD перпендикулярно основанию ABC, AD = 4√3, AB = 2, угол ABC прямой, угол BAC = 60 градусов. M — середина отрезка DA. Решим поставленные задачи.

1. Площадь боковой поверхности пирамиды

Для начала определим основные параметры основания пирамиды.

1.1. Найдем сторону AC. Треугольник ABC содержит прямой угол при вершине B и угол BAC = 60 градусов. Используем теорему косинусов в треугольнике ABC: [ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle BAC) ]

Но так как угол ABC прямой, то: [ AC^2 = AB^2 + BC^2 ] И также: [ \cos(\angle BAC) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} ]

Так как AB = 2, найдем BC: [ \sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} ] [ \sin(60^\circ) = \frac{BC}{AC} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{AC} ] Отсюда: [ BC = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ]

Используем теорему Пифагора: [ AC^2 = AB^2 + (AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2 ] [ AC^2 = 4 + \frac{3}{4}AC^2 ] [ AC^2 - \frac{3}{4}AC^2 = 4 ] [ \frac{1}{4}AC^2 = 4 ] [ AC^2 = 16 ] [ AC = 4 ]

Теперь, зная AC, найдем BC: [ BC = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} ]

1.2. Найдем площади боковых граней пирамиды. Треугольник DAB: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3} ]

Треугольник DAC: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3} ]

Треугольник DBC: [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 12 ]

Суммарная боковая площадь: [ 4\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 12 = 12\sqrt{3} + 12 ]

2. Площадь сечения пирамиды плоскостью BMC

Плоскость BMC проходит через вершину B, середину M ребра AD и вершину C. Она пересекает ребро AD в точке M и AB в точке N, где N — середина AB (так как M — середина AD и плоскость BMC симметрична относительно DA).

Так как M — середина AD, то: [ AM = \frac{1}{2}AD = 2\sqrt{3} ]

Треугольник BMC является равнобедренным треугольником с вершинами в точках B, M и C. Площадь треугольника BMC можно найти как сумму площадей двух треугольников BMN и MNC.

Площадь треугольника BMN: [ \text{Площадь треугольника BMN} = \frac{1}{2} \cdot BN \cdot BM \cdot \sin(60^\circ) ] [ BN = \frac{1}{2}AB = 1 ] [ BM = \sqrt{BN^2 + AM^2} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13} ] [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{39}}{4} ]

Площадь треугольника MNC: [ \text{Площадь треугольника MNC} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot MC \cdot \sin(60^\circ) ] [ MN = AB = 2 ] [ MC = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = 2 ] [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} ]

Итак, площадь сечения: [ \text{Площадь BMC} = \frac{\sqrt{39}}{4} + \sqrt{3} = \frac{\sqrt{39} + 4\sqrt{3}}{4} ]

3. Угол между плоскостями MBC и ABC

Плоскость ABC горизонтальная, плоскость MBC наклонена к вертикальной плоскости AD.

Так как M — середина AD, угол между плоскостями MBC и ABC равен углу между прямой BM и горизонтальной плоскостью. Этот угол можно найти через проекцию BM на плоскость ABC.

Проекция точки M на плоскость ABC — это точка O, где O — ортогональная проекция точки M на основание ABC. Так как M середина AD, то проекция BM на плоскость ABC совпадает с BO (где BO — гипотенуза прямоугольного треугольника BMO).

Угол между плоскостями MBC и ABC равен углу между прямой BM и проекцией BM на плоскость ABC: [ \tan(\alpha) = \frac{MO}{BO} ] [ MO = 2\sqrt{3}, \ BO = 2 ] [ \tan(\alpha) = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} ] [ \alpha = 60^\circ ]

4. Угол между прямой BC и плоскостью ADC

Угол между прямой BC и плоскостью ADC равен углу между прямой BC и её проекцией на плоскость ADC (прямой BD).

Так как угол ABC прямой, угол между прямыми BC и BD равен: [ \theta = 30^\circ ]

Доказательство перпендикулярности плоскостей MDC и ABD

Чтобы доказать, что плоскость MDC перпендикулярна плоскости ABD, достаточно показать, что один из векторов плоскости MDC перпендикулярен нормальному вектору плоскости ABD.

Нормальный вектор плоскости ABD: [ \vec{n}_{ABD} = \vec{AD} \times \vec{AB} ]

Вектор (\vec{AD} = (0, 0, 4\sqrt{3})) и вектор (\vec{AB} = (2, 0, 0)): [ \vec{n}_{ABD} = (0, 0, 4\sqrt{3}) \times (2, 0, 0) = (0, 8\sqrt{3}, 0) ]

Вектор плоскости MDC: [ \vec{MD} = (0, 0, 2\sqrt{3}), \ \vec{MC} = (4, 2\sqrt{3}, 0) ]

Векторное произведение: [ \vec{n}{MDC} = \vec{MD} \times \vec{MC} ] [ \vec{n}{MDC} = (0, 0, 2\sqrt{3}) \times (4, 2\sqrt{3}, 0) = (-12\sqrt{3}, 8\sqrt{3}, 0) ]

Скалярное произведение (\vec{n}{MDC}) и (\vec{n}{ABD}): [ \vec{n}{MDC} \cdot \vec{n}{ABD} = (-12\sqrt{3}, 8\sqrt{3}, 0) \cdot (0, 8\sqrt{3}, 0) = 0 ]

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, плоскости MDC и ABD перпендикулярны.

1) Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле S = 1/2 p l, где p - периметр основания, l - образующая пирамиды. Периметр основания ABCD равен AB + BC + CD + DA = 2 + 4 + 2 + 4 = 12. Так как треугольник ABC прямоугольный, то образующая пирамиды l равна корню из суммы квадратов катетов, то есть l = √(AB² + BC²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2. Тогда S = 1/2 12 2√2 = 12√2.

2) Площадь сечения пирамиды плоскостью BMC можно найти как площадь треугольника BMC. Для этого нам нужно найти высоту этого треугольника, которая равна высоте пирамиды, то есть AM. AM = AD/2 = 4√3 / 2 = 2√3. Тогда площадь треугольника BMC равна S = 1/2 BM MC = 1/2 AB AM = 1/2 2 2√3 = 2√3.

3) Угол между плоскостями MBC и ABC равен углу между прямой MC и прямой AC, так как угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Треугольник AMC равнобедренный (AM = MC), поэтому угол MCA равен 60 градусов. Тогда угол между плоскостями MBC и ABC равен 60 градусов.

4) Угол между прямой BC и плоскостью ADC равен углу между прямой BC и нормалью к плоскости ADC. Нормаль к плоскости ADC совпадает с прямой AD, так как AD перпендикулярно основанию ABCD. Таким образом, угол между прямой BC и плоскостью ADC равен углу между прямой BC и прямой AD, который составляет 90 градусов.

Доказательство того, что плоскость MDC перпендикулярна плоскости ABD: Плоскость MDC перпендикулярна плоскости ABD, если прямая MD перпендикулярна к прямой BD и лежит в плоскости MDC. Так как M - середина отрезка DA, то MD = 1/2 * DA = 2√3. Также BD = AB = 2. Так как треугольник MDB прямоугольный, то MD^2 + BD^2 = MB^2, то есть (2√3)^2 + 2^2 = MB^2, 12 + 4 = MB^2, MB = √16 = 4. Таким образом, прямая MD перпендикулярна к прямой BD и лежит в плоскости MDC, что означает, что плоскость MDC перпендикулярна плоскости ABD.