В пирамиде SABC все рёбра равны, апофема равна \[18 \sqrt{3} \]. Точка E ∈ AS и AE : ES = 2 : 1 , точка...

Для начала определим вид пирамиды SABC. Так как все её рёбра равны, это правильная треугольная пирамида (тетраэдр), в которой все грани являются равносторонними треугольниками.

Обозначим длину ребра пирамиды через ( a ).

Из условия задачи известно, что апофема (высота боковой грани) равна ( 18 \sqrt{3} ). В тетраэдре апофема равностороннего треугольника выражается через сторону треугольника ( a ) как: [ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a ] где ( h ) - апофема.

Учитывая, что апофема равна ( 18 \sqrt{3} ), имеем: [ \frac{\sqrt{3}}{2} a = 18 \sqrt{3} ]

Решим это уравнение для ( a ): [ a = \frac{18 \sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 36 ]

Теперь у нас есть длина ребра пирамиды, которая равна ( 36 ).

Далее, находим координаты точек E и F. Рассмотрим координаты пирамиды в трёхмерном пространстве:

• ( A(0, 0, 0) )
• ( B(36, 0, 0) )
• ( C(18, 18\sqrt{3}, 0) )
• ( S(18, 6\sqrt{3}, 18\sqrt{2}) )

Точка E на отрезке AS делит его в отношении 2:1. Используем формулу деления отрезка в данном отношении для координат точки E: [ E\left(\frac{2 \cdot 18 + 1 \cdot 0}{3}, \frac{2 \cdot 6\sqrt{3} + 1 \cdot 0}{3}, \frac{2 \cdot 18\sqrt{2} + 1 \cdot 0}{3} \right) = E(12, 4\sqrt{3}, 12\sqrt{2}) ]

Теперь рассмотрим точку F на отрезке AB, которая делит его в отношении 1:2. Используем формулу деления отрезка в данном отношении для координат точки F: [ F\left(\frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 36}{3}, \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{3}, \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 0}{3} \right) = F(24, 0, 0) ]

Теперь для вычисления длины вектора ( \overrightarrow{EF} ): [ \overrightarrow{EF} = F - E = (24 - 12, 0 - 4\sqrt{3}, 0 - 12\sqrt{2}) = (12, -4\sqrt{3}, -12\sqrt{2}) ]

Длина вектора ( \overrightarrow{EF} ) находится по формуле: [ |\overrightarrow{EF}| = \sqrt{(12)^2 + (-4\sqrt{3})^2 + (-12\sqrt{2})^2} ]

Вычислим: [ |\overrightarrow{EF}| = \sqrt{144 + 48 + 288} = \sqrt{480} = 16\sqrt{3} ]

Таким образом, правильный ответ: 2) 16

Для решения данной задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства подобных треугольников.

Обозначим длину ребра пирамиды как а. Так как все рёбра пирамиды равны, то длина бокового ребра равна а, а длина основания равна 2а.

Также обозначим точку S - середину ребра BC, тогда SB = SC = а. Из пропорции треугольников AEF и ASC получаем, что EF = 2/3 * AC.

Далее, найдем длину AC. Для этого построим проекцию треугольника ASC на основание SABC. Получим прямоугольный треугольник со сторонами а, 18√3 и AC. Применяя теорему Пифагора, находим AC = 6√21.

Итак, EF = 2/3 AC = 2/3 6√21 = 4√21.

Ответ: 16.

Для решения данной задачи нам необходимо найти координаты точек E и F, а затем по ним найти длину вектора EF.

1. Найдем координаты точки E: Пусть точка A имеет координаты (0, 0, 0), точка S - (a, b, 0), точка B - (a, -b, 0), точка C - (-a, 0, 0), где a - длина ребра пирамиды. Тогда координаты точки E будут (2a/3, 2b/3, 0).

2. Найдем координаты точки F: Пусть точка F имеет координаты (x, y, 0). Так как BF : FA = 1 : 2, то x = a/3, y = -b/3.

3. Теперь найдем координаты вектора EF: Вектор EF будет иметь координаты ((2a/3 - a/3), (2b/3 - (-b/3), 0) = (a/3, 5b/3, 0).

4. Найдем длину вектора EF: |EF| = √(a^2/9 + 25b^2/9) = √((a^2 + 25b^2)/9) = √((18√3)^2/9) = √(324/9) = √36 = 6.

Итак, длина вектора EF равна 6.

Ответ: 3) 8.