В прямом параллелепипеде abcda1b1c1d1 <cad=45', <adc1=90', ac=8, cc1=4√2. Найти S бок.поверхности?

Чтобы найти площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), начнем с анализа данных.

Даны следующие параметры:

• Угол ( \angle CAD = 45^\circ ).
• Угол ( \angle ADC_1 = 90^\circ ).
• Диагональ основания ( AC = 8 ).
• Высота параллелепипеда ( CC_1 = 4\sqrt{2} ).

Поскольку ( \angle ADC_1 = 90^\circ ), это указывает на то, что ( C_1 ) находится прямо над ( C ), и высота параллелепипеда совпадает с длиной ребра ( CC_1 ).

Шаг 1: Найти стороны основания ( ABCD )

Так как ( ABCD ) — прямоугольник, и дано, что ( \angle CAD = 45^\circ ), это указывает на равнобедренный треугольник ( \triangle CAD ), где ( CA = CD ).

Пусть ( CA = CD = x ). Тогда по теореме Пифагора в треугольнике ( \triangle CAD ):

[ AC^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + x^2 = 2x^2. ]

Зная, что ( AC = 8 ), получаем:

[ 8^2 = 2x^2 \Rightarrow 64 = 2x^2 \Rightarrow x^2 = 32 \Rightarrow x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. ]

Таким образом, ( AD = CD = 4\sqrt{2} ).

Шаг 2: Найти площадь боковой поверхности

Боковая поверхность параллелепипеда состоит из четырех прямоугольников. Площадь каждого из этих прямоугольников можно найти, зная высоту ( CC_1 = 4\sqrt{2} ) и длины сторон ( AB ) и ( AD ).

1. Две боковые грани, параллельные ( AB ), имеют площадь:

[ S_1 = AB \times CC_1 = 8 \times 4\sqrt{2} = 32\sqrt{2}. ]

1. Две боковые грани, параллельные ( AD ), имеют площадь:

[ S_2 = AD \times CC_1 = 4\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = 32. ]

Теперь, сложив площади всех боковых граней, получим полную площадь боковой поверхности:

[ S_{\text{бок.поверхности}} = 2S_1 + 2S_2 = 2 \times 32\sqrt{2} + 2 \times 32 = 64\sqrt{2} + 64. ]

Итак, площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна ( 64\sqrt{2} + 64 ).

Для нахождения площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда необходимо вычислить сумму площадей всех четырех боковых граней.

Для начала найдем высоту параллелепипеда. Из прямоугольного треугольника ADC1 выразим высоту AD: sin(45°) = AD / 8 => AD = 8sin(45°) = 8sqrt(2)/2 = 4*sqrt(2).

Теперь найдем высоту AC1: cos(45°) = AC1 / 8 => AC1 = 8cos(45°) = 8sqrt(2)/2 = 4*sqrt(2).

Так как противоположные стороны прямоугольного параллелепипеда равны, то высота параллелепипеда равна 4*sqrt(2).

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности: S = 2(AB + BC + CD) = 2(84sqrt(2) + 84sqrt(2) + 44sqrt(2)) = 2(32sqrt(2) + 32sqrt(2) + 16sqrt(2)) = 2(80sqrt(2)) = 160*sqrt(2).

Ответ: S боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 160*sqrt(2).