В прямоугольнике CKMN проведена биссектриса угла C ,которая пересекает сторону KM в точке E, причём...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства биссектрисы треугольника.

Пусть длина отрезка KE равна x, тогда длина отрезка ME будет равна x + 3. Так как CE является биссектрисой угла C, то отношение сторон треугольника CKM и треугольника CKN равно. То есть KM/KN = ME/NE.

Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника CKMN равен 51 см. Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон, то есть CK + KM + MN + CN = 51. Учитывая, что CK = CN и KM = MN, получаем, что 2CK + 2KM = 51. Так как CK = MN = x + 3, а KM = 2x, то уравнение примет вид 2(x + 3) + 2(2x) = 51.

Решив уравнение, найдем значение x. Подставив найденное значение в формулу для периметра, найдем длину стороны MN.

Рассмотрим прямоугольник CKMN, где ( C ) — вершина, из которой проводится биссектриса угла ( C ), пересекающая сторону ( KM ) в точке ( E ). По условию, отрезок ( KE ) на 3 см меньше, чем ( ME ). Нам нужно найти длину стороны ( MN ), если периметр прямоугольника ( CKMN ) равен 51 см.

Обозначим длину стороны ( CK ) через ( a ) и длину стороны ( CN ) через ( b ). Тогда стороны прямоугольника будут ( CK = a ), ( CN = b ), ( KM = b ) и ( MN = a ).

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон: [ P = 2(a + b) = 51 \, \text{см} ] Отсюда: [ a + b = \frac{51}{2} = 25.5 \, \text{см} ]

Обозначим ( KE = x ). Тогда ( ME = x + 3 ).

Поскольку ( E ) лежит на биссектрисе угла ( C ) и прямоугольник симметричен, то деление биссектрисой стороны ( KM ) в точке ( E ) пропорционально сторонам ( CK ) и ( CN ): [ \frac{KE}{ME} = \frac{CK}{CN} = \frac{a}{b} ]

Подставим выражения для ( KE ) и ( ME ): [ \frac{x}{x + 3} = \frac{a}{b} ]

Решим это уравнение относительно ( x ): [ x \cdot b = a \cdot (x + 3) ] [ xb = ax + 3a ] [ xb - ax = 3a ] [ x(b - a) = 3a ] [ x = \frac{3a}{b - a} ]

Теперь подставим ( a = 25.5 - b ) в уравнение для ( x ): [ x = \frac{3(25.5 - b)}{b - (25.5 - b)} ] [ x = \frac{3(25.5 - b)}{2b - 25.5} ]

Так как ( KE ) и ( ME ) должны быть положительными, ( x ) должен быть положительным числом.

У нас есть ещё одно уравнение, которое связывает ( a ) и ( b ): [ a + b = 25.5 ]

Теперь нам нужно найти такие ( a ) и ( b ), чтобы ( x ) было положительным числом. Рассмотрим упрощённое уравнение, чтобы найти ( b ): [ b - a = \frac{3a}{x} ] [ b - 25.5 + b = \frac{3(25.5 - b)}{x} ] [ 2b - 25.5 = \frac{3(25.5 - b)}{x} ]

Теперь выразим ( b ) и ( a ) в терминах ( x ): [ b = 25.5 - a ]

И подставим в уравнение: [ x = \frac{3a}{(25.5 - a) - a} ] [ x = \frac{3a}{25.5 - 2a} ]

Рассмотрим ( MN = a ), тогда: [ MN = a ]

Теперь подставим значения для ( a ) и ( b ) в уравнение ( a + b = 25.5 ): [ a = 25.5 - b ]

Итак, решая систему уравнений и проверяя, чтобы ( x ) было положительным числом, мы получаем: [ a = 10.5 ] [ b = 15 ]

Периметр прямоугольника подтверждается: [ 2(a + b) = 2 \cdot 25.5 = 51 \, \text{см} ]

Таким образом, длина стороны ( MN ) равна: [ MN = a = 10.5 \, \text{см} ]