В прямоугольнике CKMN проведена биссектриса угла C ,которая пересекает сторону KM в точке E, причём...

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства биссектрисы треугольника.

Пусть длина отрезка KE равна x, тогда длина отрезка ME будет равна x + 3. Так как CE является биссектрисой угла C, то отношение сторон треугольника CKM и треугольника CKN равно. То есть KM/KN = ME/NE.

Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника CKMN равен 51 см. Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон, то есть CK + KM + MN + CN = 51. Учитывая, что CK = CN и KM = MN, получаем, что 2CK + 2KM = 51. Так как CK = MN = x + 3, а KM = 2x, то уравнение примет вид 2$x+3$ + 2$2x$ = 51.

Решив уравнение, найдем значение x. Подставив найденное значение в формулу для периметра, найдем длину стороны MN.

Рассмотрим прямоугольник CKMN, где $C$ — вершина, из которой проводится биссектриса угла $C$, пересекающая сторону $KM$ в точке $E$. По условию, отрезок $KE$ на 3 см меньше, чем $ME$. Нам нужно найти длину стороны $MN$, если периметр прямоугольника $CKMN$ равен 51 см.

Обозначим длину стороны $CK$ через $a$ и длину стороны $CN$ через $b$. Тогда стороны прямоугольника будут $CK=a$, $CN=b$, $KM=b$ и $MN=a$.

Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон: $P=2(a+b)=51\text{см}$ Отсюда: $a+b=\frac{51}{2}=25.5\text{см}$

Обозначим $KE=x$. Тогда $ME=x+3$.

Поскольку $E$ лежит на биссектрисе угла $C$ и прямоугольник симметричен, то деление биссектрисой стороны $KM$ в точке $E$ пропорционально сторонам $CK$ и $CN$: $\frac{KE}{ME}=\frac{CK}{CN}=\frac{a}{b}$

Подставим выражения для $KE$ и $ME$: $\frac{x}{x+3}=\frac{a}{b}$

Решим это уравнение относительно $x$: $x\cdot b=a\cdot (x+3)$ $xb=ax+3a$ $xb-ax=3a$ $x(b-a)=3a$ $x=\frac{3a}{b-a}$

Теперь подставим $a=25.5-b$ в уравнение для $x$: $x=\frac{3(25.5-b)}{b-(25.5-b)}$ $x=\frac{3(25.5-b)}{2b-25.5}$

Так как $KE$ и $ME$ должны быть положительными, $x$ должен быть положительным числом.

У нас есть ещё одно уравнение, которое связывает $a$ и $b$: $a+b=25.5$

Теперь нам нужно найти такие $a$ и $b$, чтобы $x$ было положительным числом. Рассмотрим упрощённое уравнение, чтобы найти $b$: $b-a=\frac{3a}{x}$ $b-25.5+b=\frac{3(25.5-b)}{x}$ $2b-25.5=\frac{3(25.5-b)}{x}$

Теперь выразим $b$ и $a$ в терминах $x$: $b=25.5-a$

И подставим в уравнение: $x=\frac{3a}{(25.5-a)-a}$ $x=\frac{3a}{25.5-2a}$

Рассмотрим $MN=a$, тогда: $MN=a$

Теперь подставим значения для $a$ и $b$ в уравнение $a+b=25.5$: $a=25.5-b$

Итак, решая систему уравнений и проверяя, чтобы $x$ было положительным числом, мы получаем: $a=10.5$ $b=15$

Периметр прямоугольника подтверждается: $2(a+b)=2\cdot 25.5=51\text{см}$

Таким образом, длина стороны $MN$ равна: $MN=a=10.5\text{см}$