В прямоугольнике диагональ равна 42, а угол между ней и одной из сторон равен 30 градусов. Найдите площадь

Для решения задачи найдем длины сторон прямоугольника и затем вычислим его площадь. Дана диагональ прямоугольника (d = 42) и угол (\theta = 30^\circ) между диагональю и одной из сторон.

Обозначим стороны прямоугольника как (a) и (b). Предположим, что угол (30^\circ) находится между диагональю и стороной (a). Тогда можно выразить сторону (a) через диагональ и косинус угла:

[ a = d \cdot \cos(\theta) = 42 \cdot \cos(30^\circ) = 42 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 21\sqrt{3}. ]

Теперь найдем сторону (b) через диагональ и синус угла:

[ b = d \cdot \sin(\theta) = 42 \cdot \sin(30^\circ) = 42 \cdot \frac{1}{2} = 21. ]

Теперь имеем длины сторон прямоугольника: (a = 21\sqrt{3}) и (b = 21).

Площадь прямоугольника (S) вычисляется по формуле:

[ S = a \cdot b = (21\sqrt{3}) \cdot 21 = 441\sqrt{3}. ]

Итак, площадь прямоугольника равна (441\sqrt{3}).

Площадь прямоугольника равна 294.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться знанием тригонометрических функций и свойств прямоугольников.

Давайте обозначим длины сторон прямоугольника как a и b, где a - длина одной стороны, b - длина другой стороны. Также обозначим длину диагонали как c.

Известно, что диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. У нас имеется один из них, у которого угол между диагональю и одной из сторон равен 30 градусам. Таким образом, мы можем записать уравнение: sin(30°) = a / c где a - сторона прямоугольника, c - диагональ прямоугольника.

Так как sin(30°) = 1/2, получаем: a = c / 2

Теперь можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длин сторон прямоугольника: a^2 + b^2 = c^2 (c / 2)^2 + b^2 = 42^2 c^2 / 4 + b^2 = 1764 b^2 = 1764 - c^2 / 4

Теперь найдем площадь прямоугольника: S = a b = (c / 2) sqrt(1764 - c^2 / 4)

Подставляем известные значения и находим площадь прямоугольника.