В прямоугольной трапеции АВСD (ВСllАD, ∠А=90°) АВ=4 см, ВС=7 см, АD=9 см. Найдите синус, косинус, тангенс...

Для нахождения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла D трапеции, нам необходимо определить длины сторон, прилегающих к этому углу, и длину противолежащей стороны.

1. Определение длины CD: Так как ABCD - прямоугольная трапеция с основаниями AD и BC, а также известно, что ∠A = 90°, то AB перпендикулярно AD и BC. Значит, CD можно найти, используя теорему Пифагора для треугольника ADC, где AD = 9 см, AB = 4 см, и CD - гипотенуза.

[ CD^2 = AD^2 + AB^2 = 9^2 + 4^2 = 81 + 16 = 97 ] [ CD = \sqrt{97} ]

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD, где ∠DAC = 90°, и ∠ADC = ∠D трапеции. Для этого угла:

• Косинус (∠D) - это отношение прилежащего катета AD к гипотенузе CD: [ \cos D = \frac{AD}{CD} = \frac{9}{\sqrt{97}} ]

• Синус (∠D) - это отношение противолежащего катета AB к гипотенузе CD: [ \sin D = \frac{AB}{CD} = \frac{4}{\sqrt{97}} ]

• Тангенс (∠D) - это отношение противолежащего катета к прилежащему катету: [ \tan D = \frac{AB}{AD} = \frac{4}{9} ]

• Котангенс (∠D) - это отношение прилежащего катета к противолежащему катету: [ \cot D = \frac{AD}{AB} = \frac{9}{4} ]

Таким образом, мы нашли все требуемые тригонометрические функции для угла D прямоугольной трапеции ABCD.

Для начала, найдем высоту трапеции. Рассмотрим треугольник ABD. Поскольку угол А является прямым, то треугольник ABD является прямоугольным. Таким образом, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти высоту h:

h^2 = AD^2 - AB^2 h^2 = 9^2 - 4^2 h^2 = 81 - 16 h^2 = 65 h = √65

Теперь мы можем найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла D. Для этого нам нужно рассмотреть прямоугольный треугольник ACD:

Синус угла D: sin(D) = h / AD sin(D) = √65 / 9

Косинус угла D: cos(D) = AB / AD cos(D) = 4 / 9

Тангенс угла D: tan(D) = h / AB tan(D) = √65 / 4

Котангенс угла D: cot(D) = AB / h cot(D) = 4 / √65

Таким образом, синус угла D равен √65 / 9, косинус угла D равен 4 / 9, тангенс угла D равен √65 / 4, а котангенс угла D равен 4 / √65.