В прямоугольном параллелепипеде АВСДА1В1С1Д1 известны длины ребер АВ=9, АД=12, АА1=44.Найдите площадь...

Чтобы найти площадь сечения прямоугольного параллелепипеда, проходящего через вершины C, C1 и A, сначала определим координаты всех вершин параллелепипеда.

Примем, что:

• Вершина A имеет координаты ( A(0, 0, 0) ),
• Вершина B имеет координаты ( B(9, 0, 0) ) (длина ребра AB = 9),
• Вершина D имеет координаты ( D(0, 12, 0) ) (длина ребра AD = 12),
• Вершина A1 имеет координаты ( A1(0, 0, 44) ),
• Вершина C имеет координаты ( C(9, 12, 0) ),
• Вершина C1 имеет координаты ( C1(9, 12, 44) ),
• Вершина B1 имеет координаты ( B1(9, 0, 44) ),
• Вершина D1 имеет координаты ( D1(0, 12, 44) ).

Теперь у нас есть координаты точек C, C1 и A:

• ( C(9, 12, 0) )
• ( C1(9, 12, 44) )
• ( A(0, 0, 0) )

Для нахождения площади сечения, мы сначала найдем векторы, которые определяют плоскость сечения. Построим два вектора:

1. Вектор ( \overrightarrow{CA} ): [ \overrightarrow{CA} = A - C = (0 - 9, 0 - 12, 0 - 0) = (-9, -12, 0) ]

2. Вектор ( \overrightarrow{CC1} ): [ \overrightarrow{CC1} = C1 - C = (9 - 9, 12 - 12, 44 - 0) = (0, 0, 44) ]

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормальный вектор плоскости сечения: [ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CC1} ] Вычислим это произведение: [ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -9 & -12 & 0 \ 0 & 0 & 44 \end{vmatrix} = \hat{i} \begin{vmatrix} -12 & 0 \ 0 & 44 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} -9 & 0 \ 0 & 44 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} -9 & -12 \ 0 & 0 \end{vmatrix} ] [ = \hat{i}(-12 \cdot 44) - \hat{j}(-9 \cdot 44) + \hat{k}(0) = -528 \hat{i} + 396 \hat{j} + 0 \hat{k} ] Таким образом, нормальный вектор ( \overrightarrow{n} = (-528, 396, 0) ).

Теперь найдем длину нормального вектора: [ |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-528)^2 + (396)^2 + 0^2} = \sqrt{278784 + 156816} = \sqrt{435600} = 660 ]

Теперь находим длины векторов ( \overrightarrow{CA} ) и ( \overrightarrow{CC1} ): [ |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(-9)^2 + (-12)^2 + 0^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 ] [ |\overrightarrow{CC1}| = \sqrt{(0)^2 + (0)^2 + (44)^2} = 44 ]

Площадь треугольника, заданного этими тремя точками, можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CC1}| \cdot \sin(\phi) ] где ( \phi ) - угол между векторами ( \overrightarrow{CA} ) и ( \overrightarrow{CC1} ).

Однако так как один из векторов вертикален (по оси Z), угол между ними равен 90°, и ( \sin(90^\circ) = 1 ). Таким образом, площадь треугольника будет равна: [ S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 44 = 330 ]

Итак, площадь сечения, проходящего через вершины C, C1 и A, равна 330 квадратных единиц.

Давайте решим задачу по геометрии. Нам нужно найти площадь сечения прямоугольного параллелепипеда ( ABCDA_1B_1C_1D_1 ), которое проходит через вершины ( C ), ( C_1 ), и ( A ).

Дано:

• ( AB = 9 ) — длина ребра вдоль оси ( x ),
• ( AD = 12 ) — длина ребра вдоль оси ( y ),
• ( AA_1 = 44 ) — длина ребра вдоль оси ( z ).

Решение:

1. Анализ задачи

Сечение проходит через точки ( C ), ( C_1 ), и ( A ). Координаты этих точек в прямоугольной системе координат, где ( A ) — начало координат (( (0, 0, 0) )), будут следующими:

• ( A(0, 0, 0) ),
• ( C(9, 12, 0) ), так как ( C ) находится на противоположной грани параллелепипеда по отношению к ( A ), с координатами ( x = AB = 9 ), ( y = AD = 12 ), ( z = 0 ),
• ( C_1(9, 12, 44) ), так как ( C_1 ) — это точка над ( C ) на высоту ( AA_1 = 44 ), с теми же ( x )- и ( y )-координатами, но ( z = 44 ).

Теперь нужно найти площадь треугольника ( \triangle ACC_1 ), образованного этими точками.

2. Нахождение векторов

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой: [ S = \frac{1}{2} | \vec{AC} \times \vec{AC_1} |, ] где ( \vec{AC} ) и ( \vec{AC_1} ) — векторы, проведённые из точки ( A ) к точкам ( C ) и ( C_1 ) соответственно, а ( | \vec{AC} \times \vec{AC_1} | ) — модуль векторного произведения.

Координаты векторов: [ \vec{AC} = (9, 12, 0), ] [ \vec{AC_1} = (9, 12, 44). ]

3. Векторное произведение

Векторное произведение ( \vec{AC} \times \vec{AC_1} ) вычисляется по определению через определитель: [ \vec{AC} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 9 & 12 & 0 \ 9 & 12 & 44 \end{vmatrix}, ] где ( \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} ) — орты осей ( x, y, z ).

Вычисляем определитель: [ \vec{AC} \times \vec{AC_1} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} 12 & 0 \ 12 & 44 \end{vmatrix}

• \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} 9 & 0 \ 9 & 44 \end{vmatrix}
  • \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} 9 & 12 \ 9 & 12 \end{vmatrix}. ]

Рассчитаем каждый минор:

1. Для ( \mathbf{i} ): [ \begin{vmatrix} 12 & 0 \ 12 & 44 \end{vmatrix} = (12 \cdot 44 - 0 \cdot 12) = 528. ]
2. Для ( \mathbf{j} ): [ \begin{vmatrix} 9 & 0 \ 9 & 44 \end{vmatrix} = (9 \cdot 44 - 9 \cdot 0) = 396. ]
3. Для ( \mathbf{k} ): [ \begin{vmatrix} 9 & 12 \ 9 & 12 \end{vmatrix} = (9 \cdot 12 - 9 \cdot 12) = 0. ]

Подставляем всё обратно: [ \vec{AC} \times \vec{AC_1} = \mathbf{i} \cdot 528 - \mathbf{j} \cdot 396 + \mathbf{k} \cdot 0, ] [ \vec{AC} \times \vec{AC_1} = (528, -396, 0). ]

4. Модуль векторного произведения

Модуль векторного произведения: [ | \vec{AC} \times \vec{AC_1} | = \sqrt{528^2 + (-396)^2 + 0^2}. ]

Считаем квадраты: [ 528^2 = 278784, \quad (-396)^2 = 156816. ]

Сумма: [ 278784 + 156816 = 435600. ]

Корень: [ \sqrt{435600} = 660. ]

5. Площадь треугольника

Площадь треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot | \vec{AC} \times \vec{AC_1} | = \frac{1}{2} \cdot 660 = 330. ]

Ответ:

Площадь сечения равна ( \boxed{330} ).

Площадь сечения, проходящего через вершины C, C1 и A, можно найти, используя формулу для площади треугольника. В данном случае, треугольник CCA1 будет иметь основание CA и высоту, проведённую из точки C1.

Длина отрезка CA равна 9 (длина ребра AB), а высота от точки C1 до линии CA будет равна длине ребра AA1, то есть 44.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: [ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота = \frac{1}{2} \times 9 \times 44 = 198. ]

Таким образом, площадь сечения равна 198 квадратных единиц.