В прямоугольном параллелепипеде основанием служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 10 см и составляет с плоскостью боковой грани угол 60. Найдите стороны основания.
В прямоугольном параллелепипеде основанием служит квадрат. Диагональ параллелепипеда равна 10 см и составляет с плоскостью боковой грани угол 60. Найдите стороны основания.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Постановка задачи: У нас есть прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием. Пусть сторона квадрата основания будет (a), а высота параллелепипеда - (h). Диагональ параллелепипеда равна 10 см и составляет с плоскостью боковой грани угол 60 градусов.
Выражение через переменные: Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда можно выразить через теорему Пифагора: [ d = \sqrt{a^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{2a^2 + h^2} ] Диагональ равна 10 см, поэтому: [ \sqrt{2a^2 + h^2} = 10 ] Из этого следует: [ 2a^2 + h^2 = 100 ]
Угол между диагональю и плоскостью боковой грани: Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью, содержащей боковую грань, составляет 60 градусов. Поскольку основанием является квадрат, боковая грань является прямоугольником с одной стороной (a) и другой (h). Диагональ боковой грани равна (\sqrt{a^2 + h^2}).
Угол между диагональю параллелепипеда и диагональю боковой грани ( \theta ) равен 60 градусов, то есть косинус этого угла равен ( \frac{1}{2} ): [ \cos\theta = \frac{\text{проекция диагонали параллелепипеда на боковую грань}}{\text{диагональ параллелепипеда}} = \frac{\sqrt{a^2 + h^2}}{10} = \frac{1}{2} ] Отсюда: [ \sqrt{a^2 + h^2} = 5 ] Возводим в квадрат: [ a^2 + h^2 = 25 ]
Решение системы уравнений: Из уравнений (2a^2 + h^2 = 100) и (a^2 + h^2 = 25) получаем: [ 2a^2 + h^2 - (a^2 + h^2) = 100 - 25 ] [ a^2 = 75 ] [ a = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \text{ см} ]
Таким образом, стороны основания параллелепипеда равны (5\sqrt{3}) см.
Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться знанием о прямоугольных треугольниках и тригонометрии.
Обозначим стороны основания прямоугольного параллелепипеда за a и b. Так как основание является квадратом, то a = b.
Также обозначим высоту параллелепипеда за h. Тогда мы можем составить уравнение по теореме Пифагора для боковой грани параллелепипеда:
a^2 + h^2 = 10^2
Также, так как угол между диагональю и боковой гранью равен 60 градусам, то мы можем составить уравнение:
cos(60) = h / 10
Отсюда найдем, что h = 10 * cos(60) = 5 см.
Подставим найденное значение h в уравнение по теореме Пифагора:
a^2 + 5^2 = 10^2 a^2 + 25 = 100 a^2 = 75 a = √75 = 5√3 см
Итак, стороны основания равны 5√3 см.
Пусть сторона основания квадрата равна а. Тогда, по теореме Пифагора, получаем:
а^2 + а^2 = 10^2 2а^2 = 100 а^2 = 50 а = √50 ≈ 7.07
Таким образом, стороны основания равны приблизительно 7.07 см.
