В прямоугольном треугольнике ABC, гипотенуза AB = 10 см, а катет AC = 5 см. Найдите второй катет и острые...

В прямоугольном треугольнике ABC дано, что гипотенуза AB = 10 см и катет AC = 5 см. Необходимо найти второй катет BC и острые углы треугольника.

Чтобы найти второй катет BC, можно использовать теорему Пифагора, которая гласит, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Запишем эту теорему для нашего треугольника:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]

Подставим известные значения:

[ 10^2 = 5^2 + BC^2 ]

[ 100 = 25 + BC^2 ]

Вычтем 25 из обеих частей уравнения:

[ 100 - 25 = BC^2 ]

[ 75 = BC^2 ]

Теперь найдем корень из 75, чтобы получить длину катета BC:

[ BC = \sqrt{75} ]

[ BC = \sqrt{25 \times 3} ]

[ BC = \sqrt{25} \times \sqrt{3} ]

[ BC = 5\sqrt{3} ]

Таким образом, длина второго катета BC равна (5\sqrt{3}) см.

Теперь найдем острые углы треугольника. Пусть угол C - это угол между катетом AC и гипотенузой AB, а угол B - это угол между катетом BC и гипотенузой AB. Поскольку треугольник прямоугольный, угол A равен 90 градусам.

Для нахождения угла C используем тригонометрическую функцию косинуса, которая равна отношению прилежащего катета к гипотенузе:

[ \cos C = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{10} = 0.5 ]

Угол, косинус которого равен 0.5, равен 60 градусам:

[ C = 60^\circ ]

Теперь найдем угол B. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, а один из углов 90 градусов, то оставшиеся два угла должны в сумме давать 90 градусов:

[ B + C = 90^\circ ]

Подставляем известное значение угла C:

[ B + 60^\circ = 90^\circ ]

[ B = 90^\circ - 60^\circ ]

[ B = 30^\circ ]

Таким образом, острые углы треугольника ABC равны 60 и 30 градусам.

Для нахождения второго катета треугольника ABC можно воспользоваться теоремой Пифагора. По этой теореме сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть (AC^2 + BC^2 = AB^2). Подставляя известные значения, получаем:

(5^2 + BC^2 = 10^2)

(25 + BC^2 = 100)

(BC^2 = 75)

(BC = \sqrt{75} = 5\sqrt{3})

Таким образом, второй катет треугольника ABC равен (5\sqrt{3}) см.

Далее, для нахождения острых углов треугольника можно воспользоваться тригонометрическими функциями. Углы треугольника можно найти по следующим формулам:

(\sin A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{10} = 0.5)

(A = \arcsin(0.5) \approx 30^\circ)

(\cos A = \frac{BC}{AB} = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2})

(B = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \approx 30^\circ)

Таким образом, острые углы треугольника ABC равны примерно 30 градусов каждый.