В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB внешний угол при вершине B равен 150 градусов,AC+AB=12...

Для решения задачи используем несколько ключевых свойств и теорем геометрии.

1. Внешний угол треугольника: Внешний угол при вершине ( B ) равен 150 градусов. Внешний угол треугольника равен сумме двух противоположных внутренних углов. В данном случае, поскольку треугольник прямоугольный, один из углов равен 90 градусов (угол ( C )). Таким образом, внутренний угол при вершине ( B ) будет равен ( 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ ).

2. Внутренние углы треугольника: В треугольнике ABC, угол ( C = 90^\circ ), угол ( B = 30^\circ ). Следовательно, угол ( A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ ).

3. Свойства прямоугольного треугольника: В прямоугольном треугольнике со углами 30° и 60° гипотенуза в два раза больше катета, противоположного углу в 30° (то есть в два раза больше меньшего катета).

4. Обозначения сторон: Пусть ( AB = c ) (гипотенуза), ( AC = a ) (катет, прилежащий к углу 60°), ( BC = b ) (катет, прилежащий к углу 30°).

5. Связь сторон в треугольнике 30°-60°-90°:

   • ( a = \frac{c}{2} ) (меньший катет)
   • ( b = \frac{c\sqrt{3}}{2} ) (больший катет)

6. Использование дополнительной информации: Нам известно, что сумма ( AC + AB = 12 ) см. Подставим известные выражения: [ AC + AB = \frac{c}{2} + c = 12 ] Сложим и решим это уравнение: [ \frac{c}{2} + c = 12 ] Приведем к общему знаменателю: [ \frac{c}{2} + \frac{2c}{2} = 12 ] [ \frac{3c}{2} = 12 ] Умножим обе части уравнения на 2: [ 3c = 24 ] Разделим обе части уравнения на 3: [ c = 8 ]

Таким образом, длина гипотенузы ( AB ) равна ( 8 ) см.

Для решения данной задачи, нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим длину гипотенузы треугольника ABC за c, длину катета AC за a и длину катета BC за b.

Из условия задачи мы знаем, что AC + AB = 12 см, т.е. a + c = 12. Также известно, что внешний угол при вершине B равен 150 градусов, следовательно внутренний угол равен 180 - 150 = 30 градусов.

Применяя теорему косинусов к треугольнику ABC, получаем: cos(30) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab).

Так как угол в 30 градусов противоположен гипотенузе, то b = c, а a = AC = 12 - c. Подставляем это в уравнение и получаем: cos(30) = ((12 - c)^2 + c^2 - c^2) / (2(12 - c)c).

Решив это уравнение, получим значение c - длину гипотенузы треугольника ABC.